Normalgruppe Index teilerfremd < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 So 25.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
| Aufgabe | | Sei G eine endliche Gruppe und N ein Normalteiler in G. Zeigen Sie: Ist H eine Untergruppe von G, deren Ordnung teilerfremd zum Index von N in G ist, dann gilt H [mm] \subseteq [/mm] N. |
Hallo,
zu obenstehenden Aufgabe habe ich den folgenden Ansatz:
Da $ggT([G : N], |H|) = 1$ und $|G|=[G : H] * |H|$ sowie $|G|=[G : N] * |N|$ folgt $[G : N] | [G : H]$. Für die Menge $G$ gilt [mm] $G=\bigcup_{i=1}^{[G:H]}g_iH$ [/mm] und [mm] $G=\bigcup_{i=1}^{[G:N]}g_iN$, [/mm] da ja aber $[G:H]>=[G:N]$ ist, kann man folgern, dass $|g_iH|<=|g_iN|$ ist. Ich weiß, dass der Index von N, also $[G:N]$ der Mächtigkeit der Faktorengruppe $G/N$ entspricht, da $N$ ein Normalteiler ist. Ebenso muss doch gelten $[G:N]*|N|=[G:H]*|H| => [G:N]*|N|=d*[G:N]*|H| => |N|=d*|H|$. Aber wie komme ich jetzt zu der Aussage, dass $H [mm] \subseteq [/mm] N$ ist?
Von der anderen Richtung muss ich ja auch von $H [mm] \subseteq [/mm] N$ auf die Aussage des Teilerfremden Index kommen?
Wo ist hier der Knackpunkt? Könnt ihr mir vielleicht einen kleinen Hinweis geben?
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 So 25.09.2016 | | Autor: | hippias |
Betrachte die Faktorgruppe $G/N$ mit der Untergruppe $HN/N$. Wie passen die Voraussetzung und der Satz von Lagrange zusammen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 26.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
Sind die Mengen so korrekt: $ G/N = { gN | g [mm] \in [/mm] G } $ und $ HN/N ={gHN | e [mm] \in [/mm] G } $. Meinst du mit $ HN/N $ das innere semidirekte Produkt? Dann müsste doch $ G=HN$ sein, wenn $H [mm] \cap [/mm] N = [mm] {e_G}$. [/mm]
Dies ist doch aber nur der Fall, wenn die $|H|$ und $|N|$ teilerfremd sind, richtig? Wenn das nicht so ist, dann gilt $ [mm] G\not=HN [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Di 27.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Sind die Mengen so korrekt: [mm]G/N = { gN | g \in G }[/mm] und [mm]HN/N ={gHN | e \in G } [/mm].
Die Frage hat etwas: Du siehst, dass die Terme nicht korrekt dargestellt sind und es wurde $g$ und $e$ verwechselt... aber ich vermute, dass Du das richtige meinst.
> Meinst du mit [mm]HN/N[/mm] das innere semidirekte Produkt?
Nein. In der Gruppentheorie ist $HN$ das Komplexprodukt von $H$ und $N$. Da $N$ ein Normalteiler ist, ist dies die von $H$ und $N$ erzeugte Untergruppe.
> Dann
> müsste doch [mm]G=HN[/mm] sein, wenn [mm]H \cap N = {e_G}[/mm].
> Dies ist doch aber nur der Fall, wenn die [mm]|H|[/mm] und [mm]|N|[/mm]
> teilerfremd sind, richtig? Wenn das nicht so ist, dann gilt
> [mm]G\not=HN[/mm]
S.o.
Du musst Dich an die Schreibweise für Faktorstrukturen gewöhnen. Wenn es deutlicher ist, dann sage ich, dass [mm] $\pi:G\to [/mm] G/N$ der kanonische Epimorphismus ist und betrachte von [mm] $G^{\pi}= [/mm] G/N$ die Untergruppe [mm] $H^{\pi}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 28.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
Ok, ich habe nochmal folgen Ansatz und Rückfrage:
Nach dem ersten Satz der Isomorphe gilt:
1. $HN$ Untergruppe von $G$
2. $N$ Normalteiler von $NH$
3. [mm] $H\capN$ [/mm] Normalteiler von $H$
Für den kanonischen Epimorphismus [mm] $\pi:G\to [/mm] G/N$ gilt doch [mm] $Bild(\pi)=HN/N$ [/mm] und [mm] $Kern(\pi)=H\cap [/mm] N$. Allgemein gilt: [mm] $Bild(\pi)\subseteq [/mm] G/N $, also [mm] $HN/N\subseteq [/mm] G/N$. Wie komme ich jetzt mithife der Teilerfremdheit zwischen Ordnung von H und Index $[G:N]$ zu dem Term [mm] $H\subseteq [/mm] N$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mi 28.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Ok, ich habe nochmal folgen Ansatz und Rückfrage:
>
> Nach dem ersten Satz der Isomorphe gilt:
>
> 1. [mm]HN[/mm] Untergruppe von [mm]G[/mm]
> 2. [mm]N[/mm] Normalteiler von [mm]NH[/mm]
> 3. [mm]H\capN[/mm] Normalteiler von [mm]H[/mm]
>
> Für den kanonischen Epimorphismus [mm]\pi:G\to G/N[/mm] gilt doch
> [mm]Bild(\pi)=HN/N[/mm] und [mm]Kern(\pi)=H\cap N[/mm].
Nein, das gilt jeweils für die Einschränkungen von [mm] $\pi$ [/mm] auf $H$.
> Allgemein gilt:
> [mm]Bild(\pi)\subseteq G/N [/mm], also [mm]HN/N\subseteq G/N[/mm]. Wie komme
> ich jetzt mithife der Teilerfremdheit zwischen Ordnung von
> H und Index [mm][G:N][/mm] zu dem Term [mm]H\subseteq N[/mm]?
Welche Ordung hat $HN/N$? Welche anderen Gruppenordnungen teilt die Ordnung von $HN/N$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Do 29.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
Also $|G|=|NH|*[G:NH]$, $|NH|=|N|*[NH:N]$ und $|NH/N|=[NH:N]$. Für das Komplexprodukt gilt außerdem [mm] $|NH|=\bruch{|N|*|H|}{|N\cap H|}$. [/mm] Das heißt, dass [mm] $[NH:N]=\bruch{|H|}{|N\cap H|}$.
[/mm]
1. Angekommen es sei $H$ keine Teilmenge von $N$, dann kann sein [mm] $N\cap [/mm] H = [mm] {e_H}$. [/mm] Also $[NH:N]=|H|$, sodass $|NH|=|N|*|H|$ sowie $|G|=|N|*|H|*[G:NH]$. Damit $[G:N]=|H|*[G:NH]$, wir wissen dass $ggT(|H|,[G:N])=1$ gilt, was ein Widerspruch wäre, da $ggT(|H|,|H|*[G:NH])=|H|!=1$
2. Angekommen es sei [mm] $H\subseteq [/mm] N$, sodass [mm] $N\cap [/mm] H = H$. Also $[NH:N]=1$, sodass $|NH|=|N|$ sowie $|G|=|N|*[G : NH]$. Also gilt $[G:N]=[G:NH]$.
Ist dieser Weg so korrekt? Ist 2. so fertig? Habe das Gefühl da fehlt noch was ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Fr 30.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Also [mm]|G|=|NH|*[G:NH][/mm], [mm]|NH|=|N|*[NH:N][/mm] und [mm]|NH/N|=[NH:N][/mm].
> Für das Komplexprodukt gilt außerdem
> [mm]|NH|=\bruch{|N|*|H|}{|N\cap H|}[/mm]. Das heißt, dass
> [mm][NH:N]=\bruch{|H|}{|N\cap H|}[/mm].
>
> 1. Angekommen es sei [mm]H[/mm] keine Teilmenge von [mm]N[/mm], dann kann
> sein [mm]N\cap H = {e_H}[/mm]. Also [mm][NH:N]=|H|[/mm], sodass [mm]|NH|=|N|*|H|[/mm]
> sowie [mm]|G|=|N|*|H|*[G:NH][/mm]. Damit [mm][G:N]=|H|*[G:NH][/mm], wir
> wissen dass [mm]ggT(|H|,[G:N])=1[/mm] gilt, was ein Widerspruch
> wäre, da [mm]ggT(|H|,|H|*[G:NH])=|H|!=1[/mm]
Genau diese Überlegungen werden zum Ziel führen. Aber Du hast Dich ohne Not auf den Fall $H [mm] \cap [/mm] N=1$ versteift, was weder vorausgesetzt wurde noch im allgemeinen gilt. Trotzdem kannst Du Deinen Beweis fast identisch auf den allgemeinen Fall übertragen.
>
> 2. Angekommen es sei [mm]H\subseteq N[/mm], sodass [mm]N\cap H = H[/mm]. Also
> [mm][NH:N]=1[/mm], sodass [mm]|NH|=|N|[/mm] sowie [mm]|G|=|N|*[G : NH][/mm]. Also gilt
> [mm][G:N]=[G:NH][/mm].
>
Ich sehe hier keinen Zusammenhang zur Aufgabenstellung.
> Ist dieser Weg so korrekt? Ist 2. so fertig? Habe das
> Gefühl da fehlt noch was ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Fr 30.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
Welchen Allgemeinen Fall meinst du? Es ist doch so: Wenn $H$ keine Teilmenge von $N$ ist, dann ist die Vereinigung [mm] $H\cap [/mm] N= { [mm] e_H [/mm] }$, oder? Oder wäre das Gegenteil eher [mm] $|H\cap [/mm] N| < |H|$, weil es mindestens ein Element aus $H$ gibt welches nicht in $N$ liegt.
Ist das folgende allgemeiner:
Angenommen H ist keine Teilmenge von N, sodass |N∩H|<|H| und |H|||N∩H|. Damit ist [NH:N]=d|N∩H| und |NH|=|N|d|N∩H|. Es folgt |G|=|N|d|N∩H|[G:NH] sowie [G:N]=d|N∩H|[G:NH], sodass ggT(|H|,d|N∩H|[G:NH])=|H|. Dies ist aber offensichtlich ein Widerspruch zur Bedingung ggT(|H|,[G:N])=1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Sa 01.10.2016 | | Autor: | hippias |
> Welchen Allgemeinen Fall meinst du?
Den, von dem ich in meiner letzten Antwort geschrieben habe: dass nicht [mm] $N\cap [/mm] H=1$ ist.
> Es ist doch so: Wenn [mm]H[/mm]
> keine Teilmenge von [mm]N[/mm] ist, dann ist die Vereinigung [mm]H\cap N= { e_H }[/mm],
> oder?
Nein; und [mm] $\cap$ [/mm] steht für den Durchschnitt.
> Oder wäre das Gegenteil eher [mm]|H\cap N| < |H|[/mm], weil
> es mindestens ein Element aus [mm]H[/mm] gibt welches nicht in [mm]N[/mm]
> liegt.
Ja.
>
> Ist das folgende allgemeiner:
>
> Angenommen H ist keine Teilmenge von N, sodass |N∩H|<|H|
Ja
> und |H|||N∩H|.
Nein; eher umgekehrt.
> Damit ist [NH:N]=d|N∩H| und
Bitte!? Wie bringst Du denn plötzlich den Index ins Spiel? Falls Du damit ausdrücken möchtest, dass $[NH:N]$ von [mm] $|N\cap [/mm] H|$ geteilt wird, so ist das falsch, wovon Du Dich im Fall $N=H$ überzeugen kannst.
> |NH|=|N|d|N∩H|. Es folgt |G|=|N|d|N∩H|[G:NH] sowie
> [G:N]=d|N∩H|[G:NH], sodass ggT(|H|,d|N∩H|[G:NH])=|H|.
> Dies ist aber offensichtlich ein Widerspruch zur Bedingung
> ggT(|H|,[G:N])=1.
S.o.
Also:
1. Zeige $|NH/N|$ teilt $|H|$
2. Zeige $|NH/N|$ teilt $|G/N|$
3. Wende die Voraussetzung an um $NH/N=1$ zu zeigen
4. Schlussfolgere, dass [mm] $H\leq [/mm] N$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 02.10.2016 | | Autor: | MarcHe |
Hallo,
ich habe es nochmal versucht:
1. $|H|=|N [mm] \cap [/mm] H|*[G:N [mm] \cap [/mm] H]$, sodass $|N [mm] \cap H|=\bruch{|H|}{[G:N\cap H]}$. [/mm] Außerdem $|NH|=|N|*[NH:N]$ bzw. [mm] $|NH|=\bruch{[N|*|H|}{|N\cap H|}$, [/mm] sodass [mm] $[NH:N]=\bruch{|H|}{|N \cap H|}$, [/mm] also $|N [mm] \cap H|=\bruch{|H|}{[NH:N]}$. [/mm] Es folgt = [mm] $[NH:N]=[G:N\cap [/mm] H]$ und damit $[NH:N]||H|$.
2. Aus $|G|=|N|[G:N]$, $|G|=|NH|[G:NH]$ und $|NH|=|N|*[NH:N]$ folgt, dass $[G:N]=[NH:N]*[G:NH]$, sodass $[NH:N]||G/N|$.
3. da $ggT(|H|,[G/N])=1$ folgt dass $[NH:N]=1$.
4. Da $[NH:N]=1$ folgt $|NH|=|N|$ und damit [mm] $H\subseteq [/mm] H$.
Passt das nun so? Zu 4. ist die Gleichheit der Ordnung ausreichend für die Teilmengenfolgerung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 02.10.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> ich habe es nochmal versucht:
>
> 1. [mm]|H|=|N \cap H|*[G:N \cap H][/mm],
Das ist i.a. falsch; der Rest ist aber in Ordnung.
> sodass [mm]|N \cap H|=\bruch{|H|}{[G:N\cap H]}[/mm].
> Außerdem [mm]|NH|=|N|*[NH:N][/mm] bzw. [mm]|NH|=\bruch{[N|*|H|}{|N\cap H|}[/mm],
> sodass [mm][NH:N]=\bruch{|H|}{|N \cap H|}[/mm], also [mm]|N \cap H|=\bruch{|H|}{[NH:N]}[/mm].
> Es folgt = [mm][NH:N]=[G:N\cap H][/mm] und damit [mm][NH:N]||H|[/mm].
>
> 2. Aus [mm]|G|=|N|[G:N][/mm], [mm]|G|=|NH|[G:NH][/mm] und [mm]|NH|=|N|*[NH:N][/mm]
> folgt, dass [mm][G:N]=[NH:N]*[G:NH][/mm], sodass [mm][NH:N]||G/N|[/mm].
>
O.K.
> 3. da [mm]ggT(|H|,[G/N])=1[/mm] folgt dass [mm][NH:N]=1[/mm].
>
> 4. Da [mm][NH:N]=1[/mm] folgt [mm]|NH|=|N|[/mm] und damit [mm]H\subseteq H[/mm].
Wieder ein Schreibfehler?
>
> Passt das nun so? Zu 4. ist die Gleichheit der Ordnung
> ausreichend für die Teilmengenfolgerung?
Wenn Du so fragst, ist es nicht ausreichend. Also beweise: Wenn $|NH|= |N|$, so ist [mm] $H\leq [/mm] N$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mo 03.10.2016 | | Autor: | MarcHe |
Ich meinte natürlich $ |H|=|N [mm] \cap H|\cdot{}[H:N \cap [/mm] H] $ und damit auch $ [mm] [NH:N]=[H:N\cap [/mm] H] $.
Meinst du den folgenden Tippfehler: $|NH/N|$ anstatt $[NH:N]$?
Da $|NH|=|N|$ nur dann wenn [mm] $\bruch{|H|}{|N\cap H|}=1$, [/mm] also muss [mm] $|N\cap [/mm] H|=|H|$ sein. Dies ist dann der Fall wenn [mm] $N\cap [/mm] H=H$ bzw. [mm] $H\subseteq [/mm] N$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 03.10.2016 | | Autor: | hippias |
Jetzt scheint alles in Ordnung zu sein. Ich möchte aber noch anmerken, dass Deine Rechnungen mit Indices und Ordnungen abschnittsweise umständlich wirken - aber das ist ja nichts verwerfliches.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Di 04.10.2016 | | Autor: | MarcHe |
Ok, super vielen dank für die Unterstützung!
Meinst du Schreibweise oder den prinzipiellen Weg als umständlich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 04.10.2016 | | Autor: | hippias |
Z.B. Dein Nachweis dafür, dass $|H|$ von $|NH/N|$ geteilt wird, ist, finde ich, umständlich.
Insgesamt ist die Beweisidee aber einfach und klar.
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