3 Fragen zu unbest. Integralen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mi 04.04.2007 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der partiellen Integration:
i) [mm] \integral_{}^{}{sin(2x)*e^{-x} dx}
[/mm]
2. Prüfen Sie durch Ableiten:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}=ln|f(x)|+C
[/mm]
3. Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Formel aus Aufgabe 2:
[mm] a)\integral_{}^{}{tan(x) dx} [/mm] |
Hallo Leute
Ich habe heute leider gleich 3 Aufgaben wo ich nicht weiterkomme. Der Reihe nach:
1. Wie die Aufgabe sagt, soll das mit Hilfe der partiellen Integration gelöst werden.
Ich versuchte folgendes:
[mm] \integral_{sin(2x)*e^{-x} dx}
[/mm]
= [mm] -e^{-x}*sin(2x)-\integral_{}^{}{-e^{-x}*cos(2x)*2 dx}
[/mm]
(das letzte 2 steht da wegen der Kettenregel, und könnte (nach mir) auch vor das Integral geschrieben werden.)
Nun komme ich aber nicht mehr weiter, weil das [mm] -\integral_{}^{}{-e^{-x}*cos(2x)*2 dx} [/mm] ja nicht wirklich einfacher ist als die Ausgangsaufgabe ;-(
2. [mm] \integral_{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}=ln|f(x)|+C
[/mm]
Ich versuchte einfach mal probeweise für f(x) = 2x einzusetzen, erhalte dann aber das (falsche) Resultat:
[mm] \integral_{\bruch{2}{2x} dx}=2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{2x} dx}= [/mm] 2*ln(2x), was ja nicht der Aufgabe entspricht ?!?
3. Da ich die zweite Aufgabe nicht richtig verstehe happerts nun auch hier. Ich versuchte, das [mm] \integral_{}^{}{tan(x) dx} [/mm] einfach mal als [mm] \integral_{}^{}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx} [/mm] umzuschreiben. Nun müsste (gemäss Formel aus Aufgabe zwei) der sin(x) ja die Ableitung von cos(x) sein, was aber nicht stimmt.
Ihr seht: Ich stehe wieder mal auf verlorenem Posten und wäre für eure Tipps sehr dankbar 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
bei der ersten Aufgabe musst du zweimal partiell integrieren:
Einmal wird dann aus dem sinus der Cosinus im Integral, und wenn du das dann nochmal richtig integrierst, dann bekommst du das ursprüngliche Integral, und kannst das dann auf eine Seite schreiben, durch zwei Teilen, und du hast deine Stammfunktion dort stehen.
Ich rechne das auch mal durch, aber wollte dir erst mal den Ansatz gegeben haben.
Bei der zweiten Aufgabe solltest du ja durch Ableiten zeigen, dass ln(f(x))+c eine SF zu dem Integral ist.
Das kannst du, indem du dies einfach mal ableitest:
(ln(f(x))+c)'=1/f(x) *f'(x) (das 1/f(x) kommt durch die äußere Ableitung, f'(x) ist die innere Ableitung).
Jetzt noch ein wenig umschreiben und sehen, dass dsa exakt das ist, was in dem Integral steht.
Zur dritten Aufgabe:
Stimmt schon, dass der sinus nicht die Ableitung des Cosinus ist, aber da du ja weißt, dass (cos)'=-sin ist, kannst du ja den Bruch einfach umschreiben in:
[mm] -\bruch{-sin}{cos} [/mm] und schon hast du die Form von dem Integral aus Aufgabe zwei.
Liebe Grüße,
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, im Prinzip meinte ich dieses System mit dem zweimal integriren.
Ich habs so gemacht:
[mm] \integral_{}^{}{e^{-x} sin(2x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{u'v }=uv-\integral_{}^{}{uv' }
[/mm]
Nach diesem Prinzip der partiellen Integration bin ich vorgegangen, und beim ersten mal habe ich folgendes gewählt:
u'= [mm] e^{-x} [/mm] v= sin2x
u [mm] =-e^{-x} [/mm] v'=2*cos2x
Das einsetzten, dann bekommst du hinten auch nochmal ein Integral. Dort habe ich dann sämtliche Konstanten nach vorne gezogen.
Dann habe ich das hintere Integral nochmal partiell Integriert, und zwar mit
u'= [mm] e^{-x} [/mm] v= cos2x
u [mm] =-e^{-x} [/mm] v'=-2*sin2x
Wenn du das dann richtig anwendest, und da auch nochmal aus dem Integral alle Konstanten rausziehst, steht auf der rechten Seite dann [mm] -4\integral_{}^{}{e^{-x}sin2x dx} [/mm] was genau deinem ursprünglichem Integral entspricht.
Dann kannst du diese Integral auf die linke Seite bringen, dann steht da 5* [mm] \integral_{}^{}{e^{-x}sin2x dx} [/mm] = ....
Dann einmal durch 5 teilen, und du bist fertig.
Probiers mal aus, wenn du das verstanden hast, sollten alle anderen Aufgaben, die ähnlich aussehen, kein Problem für dich darstellen.
Viele Grüße,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Mi 04.04.2007 | | Autor: | belimo |
Super danke!
Ich habe es so hingekriegt. Relativ lange habe ich vergessen, nach der 1. Integration auch schon den Faktor 2 vors Integral zu tun. Logischerweise ging es danach nicht mehr auf.
Und kurz vor Schluss habe ich mir mit einem Vorzeichenfehler noch ein Ei gelegt - jetzt stimmt es aber prächtig
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