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Hallo!
Folgende Frage war Teil des Mathe Abis 2005 in Sachsen-Anhalt:
Gegeben sei eine Funktion
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] \bruch{k(x-1)^{2}}{x^{2}+1} [/mm] , x,k [mm] \in \IR [/mm] und k [mm] \not= [/mm] 0.
Weisen Sie nach, dass die Funktionen [mm] F_{k} [/mm] für k > 0 mit
y = [mm] F_{k}(x) [/mm] = [mm] -k[ln(x^{2}+1)-x]
[/mm]
Stammfunktionen der Funktionen [mm] f_{k} [/mm] sind.
Ich habe für diese Frage nur den Lösungsansatz
[mm] F_{k}'(x) [/mm] = f(x)
Mein Problem ist der natürliche Logarithmus in der angegebenen Stammfunktion. Ich weiß nicht, wie ich umwandeln und integrieren muss um von [mm] f_{k}(x) [/mm] auf [mm] F_{k}(x) [/mm] zu kommen, denn wir haben noch nicht mit natürlichen Logarithmen gerechnet.
Kann mir jemand bitte den Lösungsweg aufzeigen?
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Hallo,
> y = [mm]F_{k}(x)[/mm] = [mm]-k[ln(x^{2}+1)-x][/mm]
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> Stammfunktionen der Funktionen [mm]f_{k}[/mm] sind.
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> Ich habe für diese Frage nur den Lösungsansatz
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> [mm]F_{k}'(x)[/mm] = f(x)
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> Mein Problem ist der natürliche Logarithmus in der
> angegebenen Stammfunktion. Ich weiß nicht, wie ich
> umwandeln und integrieren muss um von [mm]f_{k}(x)[/mm] auf [mm]F_{k}(x)[/mm]
> zu kommen, denn wir haben noch nicht mit natürlichen
> Logarithmen gerechnet.
> Kann mir jemand bitte den Lösungsweg aufzeigen?
Die Ableitung des ln wird folgendermaßen gebildet:
[mm]\left( {\ln \;g(x)} \right)'\; = \;\frac{{g'(x)}}{{g(x)}}[/mm]
Der umgekehrte Weg geht so:
[mm]\int {\frac{{g'(x)}}{{g(x)}}\;dx} \; = \;\ln \;g(x)\; + \;C[/mm]
Gruß
MathePower
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