Ableitungen mit 2 Parametern < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Do 02.04.2009 | | Autor: | f4b |
| Aufgabe | Bilden Sie die Ableitungen von folgender Funktion mit zwei Parametern:
f(x)=k-k*(ln(x))² |
Erstmal habe ich bei der Ausgangsfunktion k ausgeklammert:
f(x)=k*(1-(ln(x))²)
Dann zum Ableiten hatte ich an die Kettenregel gedacht, somit ist:
u(x)=k*(1-(ln(x))²)
v(x)=(1-(ln(x))²)
Anschließend muss ich es ja umwandeln in f'(x)=u'(v)*v'
Nur weiß ich nicht, wie die Ableitungen jeweils sind. Es ist ja eine doppelt verkette Funktion mit (ln(x))², die die Ableitung hat von 2/x*ln(x)
Aber was muss ich dann mit k machen? Könnte mir das jem. "vorrechnen"
Vielen Dank erstmal
Liebe Grüße
f4b
P.S.: Mir ist zu Ohren gekommen, dass es Besonderheiten gibt bei der Berechnung von Extrem- und Wendepunkten. Was genau ist das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Do 02.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Behandle k so, als würde da irgendeine Zahl stehen
Also:
[mm] f_{k}(x)=\blue{k}\green{-k}*\red{(\ln(x))²}
[/mm]
Jetzt sollst du nach x ableiten, also bleibt k eine Konstante:
Somit
[mm] f_{k}(x)=\blue{0}\green{-k}*\red{\bruch{2\ln(x)}{x}}=-\bruch{2k\ln(x)}{x}
[/mm]
Der rote Term wird mit Kettenregel abgeleitet.
Für die 2. Ableitung kannst du jetzt die Quotientenregel nutzen,
Bei den Extrem und Wendepunkten kann es bei Parameterfunktionen halt vorkommen, dass die Koordinaten von k abhängig sind, die üblichen Kriterien gelten immer noch.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 02.04.2009 | | Autor: | f4b |
okay, dann habe ich :
f'(x)=-2k*ln(x)/x
[mm] f''(x)=(-2-(2k*ln(x)))/x^2
[/mm]
Wobei ich glaube, dass ich die zweite Ableitung noch vereinfachen kann.
Aber wie finde ich dann Achsenschnittpunkte bzw. Nullstellen, wenn ich die zwei unbekannten Parameter habe?
Grüße
f4b
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Do 02.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für die Nullstellen gilt ja [mm] f_{k}(x)=0
[/mm]
Also hier:
[mm] k-k*(\ln(x))²=0
[/mm]
Und das löse nun mal nach x auf.
Für den y-Achsenabschnitt würde gelten:
[mm] y=f_{k}(\red{0}), [/mm] also hier: [mm] k-k*(\ln(\red{0}))², [/mm] sofern denn [mm] \ln(0) [/mm] definiert wäre.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Do 02.04.2009 | | Autor: | f4b |
Okay!
Und die 3. Ableitung wäre dann, wenn [mm] f''(x)=(-2k)/(x^2) [/mm] * (1-ln(x))/(1) die 2. ist:
[mm] f'''(x)=(2k)/x^3 [/mm]
oder ist das dann doch komplizierter? ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Do 02.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast [mm] f_{k}''(x)=\underbrace{-2kx^{-2}}_{u}\red{*}\underbrace{(1-\ln(x))}_{v}
[/mm]
(Das habe ich jetzt mal nicht nachgerechnet.
Für [mm] f_{k}'''(x) [/mm] brauchst du, wie der rote Malpunkt signalisiert, die Produktregel, also:
[mm] f_{k}'''(x)=\underbrace{4kx^{-3}}_{u'}\underbrace{(1-\ln(x))}_{v}+\underbrace{(-2kx^{-2})}_{u}\red{*}\underbrace{\left(-\bruch{1}{x}\right)}_{v'}
[/mm]
Das ganze kann man dann natürlich noch zusammenfassen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 02.04.2009 | | Autor: | f4b |
Um das mit den Nullstellen nochmal aufzugreifen:
$ [mm] k-k\cdot{}(\ln(x))²=0 [/mm] $
Dann stelle ich k auf die eine Seite, dividiere durch (-k) und erhalte 1=(ln(x))²
bzw. dann die Wurzel gezogen 1=ln(x) und das ist dann ja "e".
D.h. die Nullstelle befindet sich bei "e" bzw. 2,718 ?
Soweit erstmal vielen Dank an dich!
f4b
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Hallo f4b,
> Um das mit den Nullstellen nochmal aufzugreifen:
>
> [mm]k-k\cdot{}(\ln(x))²=0[/mm]
>
> Dann stelle ich k auf die eine Seite, dividiere durch (-k)
> und erhalte 1=(ln(x))²
> bzw. dann die Wurzel gezogen 1=ln(x) und das ist dann ja
> "e".
>
> D.h. die Nullstelle befindet sich bei "e" bzw. 2,718 ?
>
Das ist eine Nullstelle, ja.
Es gibt aber noch eine zweite Nullstelle.
>
> Soweit erstmal vielen Dank an dich!
> f4b
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Do 02.04.2009 | | Autor: | f4b |
x1="e"
x2= 0,36787944
Wie man jedoch darauf kommt, bleibt mir ein Rätsel
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Hallo f4b,
>
> x1="e"
> x2= 0,36787944
>
> Wie man jedoch darauf kommt, bleibt mir ein Rätsel
>
Nun,
[mm]1=\left(+1\right)*\left(+1\right)=\left(-1\right)*\left(-1\right)[/mm]
oder gemäß der dritten binomischen Formel:
[mm]1-\left( \ \ln\left(x\right) \ \right)^{2}=\left( \ 1-\ln\left(x\right) \ \right)*\left( \ 1+\ln\left(x\right) \ \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 02.04.2009 | | Autor: | f4b |
Nun gut, darauf muss man ersteinmal kommen mit der 3. binomischen Formel, aber vielen Dank für den Tipp !
Nur bringt mich das nicht wirklich weiter, wenn ich weiß, dass:
0=(1+ln(x))*(1-ln(x))
Wie soll ich da jetzt auf die besagten 0,36787944 für die zweite Nullstelle kommen bzw. ja auch auf "e" für die erste NS? Ein vollständiger Lösungsweg wäre fürs Nachvollziehen sehr nett :)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Do 02.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Nun gut, darauf muss man ersteinmal kommen mit der 3.
> binomischen Formel, aber vielen Dank für den Tipp !
>
> Nur bringt mich das nicht wirklich weiter, wenn ich weiß,
> dass:
>
> 0=(1+ln(x))*(1-ln(x))
>
> Wie soll ich da jetzt auf die besagten 0,36787944 für die
> zweite Nullstelle kommen bzw. ja auch auf "e" für die erste
> NS? Ein vollständiger Lösungsweg wäre fürs Nachvollziehen
> sehr nett :) genannt
Hallo,
ein Produkt ist Null, wenn ... (dieser Satz wurde hier im Forum schon tausendmal genannt; ich mag ihn nicht nochmal komplett herbeten)
Also gilt (1+ln(x))=0 (bzw. ln x = -1) oder (1-ln(x))=0 (bzw. ln x = 1 ).
Gruß Abakus
>
> Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Do 02.04.2009 | | Autor: | f4b |
Hehe, das weiß ich sogar.
Mein Problem war, dass ich nicht wusste, wie ich ln (x)=1 bzw. ln(x)=-1
richtig nach x umstelle. Aber das ist ja einfach [mm] e^1 [/mm] bzw. e^-1
ich Vollidiot! :-|
Also nochmal vielen Dank
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