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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \sqrt{x+y} [/mm] < [mm] \sqrt{x} [/mm] + [mm] \sqrt{y} [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR_{+} [/mm] |
Guten Abend! ich stecke da irgendwie fest.. Es scheint mir eigentlich nicht sooo schwierig, aber irgendwie weiss ich auch nicht, wie ich das zeigen kann.. Ich hätte als Erklärung einfach geschrieben: da x,y [mm] \in \IR_{+}. [/mm] Oder gibts hier noch gross was zu beweisen?
Vielen Dank für die Hilfe Ersti
p.s. Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum publiziert.
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ok ich sollte nächstes mal denken bevor ich poste..
Dreiecksungleichung ist der Ansatz, nicht? Und dann einfach, dass die Null nicht enthalten ist in [mm] \IR_{+} [/mm] also ist es > und nicht [mm] \ge
[/mm]
Und schlussendlich die Begründung, dass die Relationen gewahrt werden durch die Wurzel, oder?
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Hallo ueberforderter_Ersti!
> Zeige, dass [mm]\sqrt{x+y}[/mm] < [mm]\sqrt{x}[/mm] + [mm]\sqrt{y}[/mm] für alle x,y
> [mm]\in \IR_{+}[/mm]
> Guten Abend! ich stecke da irgendwie fest.. Es
> scheint mir eigentlich nicht sooo schwierig, aber irgendwie
> weiss ich auch nicht, wie ich das zeigen kann.. Ich hätte
> als Erklärung einfach geschrieben: da x,y [mm]\in \IR_{+}.[/mm] Oder
> gibts hier noch gross was zu beweisen?
> Vielen Dank für die Hilfe Ersti
>
> p.s. Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> publiziert.
Quadriere doch mal auf beiden Seiten der Ungleichung:
[mm](\sqrt{x+y})^{2} < (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}[/mm]
Auf der linken Seite sollten sich Wurzel und Quadrat aufheben, auf der rechten Seite sollte die erste binomische Formel weiter helfen:
[mm]x+y < x+2\sqrt{xy}+y [/mm]
Auf beiden Seiten nun [mm]-x[/mm] und [mm]-y[/mm] gerechnet und es sollte sich ergeben:
[mm]0 < 2\sqrt{xy}[/mm]
Diese Aussage zu beweisen sollte nich allzu schwer sein, oder? 
Vielleicht hilft dir das weiter?
Gruß,
Tommy
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