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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Basen für Bild und Kern
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Basen für Bild und Kern: für Matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:56 Do 11.12.2008
Autor: Hav0c

Aufgabe
Berechnen Sie Basen für Bild(LA) und Kern(LA) für die Matrix
A = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 7 } \in R^{3x3} [/mm]

Geben Sie für jeden Basisvektor w des Bildes einen Vektor v mit LA(v) = w an.

für den Kern hab ich die Matrix mit [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm]
multipliziert und ein Gleichungssystem erhalten, Gauss-Endfigur drauss gemacht. habe 2 nicht null zeilen erhalten.
Wie berechnet sich denn nun die dimension. mein Übungsleiter sagte uns das die dimension nun ANzahl parameter minus der NIcht Null-Zeilen ist. das stimmt doch so nicht oder?

nun müsste ich einen parameter frei wählen und diesen zu "tau" setzen. z.b. z = tau
setze ich dass dann ins ursprünglichen koordinatensystem ein?


Beim Bild habe ich nur einen Basisvektor herausbekommen
und zwar
t* [mm] \vektor{- \bruch{1}{3} \\ - \bruch{5}{3} \\ 1 } [/mm]
das kann doch nicht stimmen oder?



und den 2ten teil der aufgabe verstehe ich gar nicht, da bräuchte ich einen denkanstoss

vielen danke

        
Bezug
Basen für Bild und Kern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 Fr 12.12.2008
Autor: MathePower

Hallo Hav0c,


> Berechnen Sie Basen für Bild(LA) und Kern(LA) für die
> Matrix
>  A = [mm]\pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 7 } \in R^{3x3}[/mm]
>  
> Geben Sie für jeden Basisvektor w des Bildes einen Vektor v
> mit LA(v) = w an.
>  für den Kern hab ich die Matrix mit [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> multipliziert und ein Gleichungssystem erhalten,
> Gauss-Endfigur drauss gemacht. habe 2 nicht null zeilen
> erhalten.
>  Wie berechnet sich denn nun die dimension. mein
> Übungsleiter sagte uns das die dimension nun ANzahl
> parameter minus der NIcht Null-Zeilen ist. das stimmt doch
> so nicht oder?


Die Dimension des Kernes ist die Anzahl der frei wählbaren Parameter.

Bei der Dimension des Bildes hat daher Dein Übungleiter recht.


>  
> nun müsste ich einen parameter frei wählen und diesen zu
> "tau" setzen. z.b. z = tau
>  setze ich dass dann ins ursprünglichen koordinatensystem
> ein?
>  


Setze diesen Parameter "tau" in die Gauss-Endfigur ein, und Du erhältst dann die anderen beiden Lösungen.


>
> Beim Bild habe ich nur einen Basisvektor herausbekommen
>  und zwar
>  t* [mm]\vektor{- \bruch{1}{3} \\ - \bruch{5}{3} \\ 1 }[/mm]
>  das
> kann doch nicht stimmen oder?
>  
>


Das ist auch der Kern(LA), den Du da bestimmt hast.


>
> und den 2ten teil der aufgabe verstehe ich gar nicht, da
> bräuchte ich einen denkanstoss


Erstmal mußt Du eine Basis des Bildes finden.

Löse dann das Gleichungssystem

[mm]Av=w[/mm]

für jeden Basisvektor w des Bildes.


>  
> vielen danke


Gruß
MathePower


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