Bedingungen für glm Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Do 07.04.2005 | | Autor: | ilse |
Hallo,
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich irgendwie nicht so recht weiss wie ich sie anpacken soll, vielleicht kann mir ja jemand einen Tip geben:
Geg: [mm] f_{n}(x) [/mm] stetig für alle x [mm] \in [/mm] X; wobei X [mm] \subset \IR
[/mm]
für jedes x [mm] \in [/mm] X konvergiert [mm] f_{n}(x) [/mm] gegen einen Wert f(x).
Zu Zeigen: [mm] f_{n}(x) \to [/mm] f(x) auf X glm [mm] \gdw
[/mm]
1. Die Grenzfunktion f stetig ist
2. Für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] und ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass für alle x [mm] \in [/mm] X folgendes gilt: Ist [mm] |f_{k}(x)-f(x)|< \delta [/mm] für ein k [mm] \in \IN [/mm] (welches von x abhängen darf), so folgt [mm] |f_{k+n}(x-f(x))|< \varepsilon [/mm] für alle n > N
Im Skript haben wir glm Konvergenz folgendermaßen definiert:
[mm] f_{n}(x) [/mm] ist glm konvergent gegen f(x), wenn zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n_{0}( \varepsilon) [/mm] ex. mit [mm] |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
und für alle x [mm] \in [/mm] I
Ich denke mir das ich nun von der einen Definition irgendwie auf die andere kommen sollte und andersrum, aber ich weiss nicht wie.
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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Hallo ilse,
ich denke, dass man außerdem voraussetzen muss, dass $X$ kompakt ist. Ansonsten (z.B. im Fall [mm] $X=[0;\infty)$) [/mm] könnte man [mm] $f_n(x)=\chi_{[0,n]}(x)+\chi_{(n;n+1]}*(n+1-x)$ [/mm] nehmen. Die konvergieren pktweise gegen die Einsfunktion auf den positiven reellen Zahlen. Weil [mm] $n\mapsto f_n(x)$ [/mm] für alle $x$ monoton wachsend ist stimmt auch die 2. Voraussetzung. Gleichmäßige Konvergenz ist aber nicht gegeben, da [mm] $\|1-f_n\|_\infty=1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$: [/mm] Jede gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Funktionen hat einen stetigen Grenzwert und die 2. Behauptung ist schwächer als die Voraussetzung der gleichmäßigen Konvergenz.
Dass $f$ stetig ist folgt aus der Stetigkeit der [mm] $f_n$ [/mm] und der Dreiecksungleichung:
Sei [mm] $\epsilon>0$ [/mm] und [mm] $x_0\in [/mm] X$. Es gibt ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $|f(x)-f_n(x)|<\bruch{\epsilon}{3}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ und alle [mm] $x\in [/mm] X$. (Das ist die gleichmäßige Konvergenz!)
Außerdem gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so für [mm] $y\in [/mm] X$ mit [mm] $|x_0-y|<\delta$ [/mm] gilt, dass [mm] $|f_N(x_0)-f_N(y)|<\bruch{\epsilon}{3}$. [/mm] (Das ist die Stetigkeit der [mm] $f_n$!)
[/mm]
Jetzt setzen wir's zusammen:
Seien [mm] $y\in [/mm] X$, [mm] $|x_0-y|<\delta$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $|f(x_0)-f(y)|\le |f(x_0)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f_N(y)|+|f_N(y)-f(y)|\le \bruch{\epsilon}{3}+\bruch{\epsilon}{3}+\bruch{\epsilon}{3}=\epsilon$. [/mm]
Die Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] funktioniert dann wie folgt:
Sei [mm] $\epsilon>0$. [/mm]
Nach der Voraussetzung 2. gibt es ein [mm] $\delta_1>0$, [/mm] so dass aus [mm] $|f_k(x)-f(x)|<\delta_1$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f_{k+n}(x)-f(x)|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N,\ [mm] x\in [/mm] X$.
Da $f$ stetig ist, gibt ein [mm] $\delta_2>0$, [/mm] so dass aus [mm] $|x-y|<\delta_2$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(x)-f(y)|<\bruch{\delta_1}{3}$.
[/mm]
Wegen der Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$ und der Stetigkeit von [mm] $f_n,f$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta_3>0$, [/mm] so dass [mm] $|f_n(x)-f_n(y)|<\bruch{\delta_1}{3}$, [/mm] falls [mm] $|x-y|<\delta_3$ [/mm] und [mm] $n\in \IN$.
[/mm]
Sei nun [mm] $\{U_i\}_{i\in I}$ [/mm] eine offene Überdeckung von $X$, wobei jedes [mm] $U_i$ [/mm] einen Durchmesser hat, der kleiner ist als [mm] $\min\{\delta_2,\delta_3\}$. [/mm] Da $X$ kompakt ist, kann $I$ endlich gewählt werden. Wähle nun in jedem [mm] $U_i$ [/mm] ein [mm] $x_i$ [/mm] aus und bezeichne das zugehörige $k$ aus 2. mit [mm] $k_i$. [/mm] Da es nur endlich viele sind gibt es ein größtes, dieses bezeichnen wir mit [mm] $k_0$.
[/mm]
Nun gilt für jedes [mm] $x\in [/mm] X$:
Es gibt ein [mm] $i_0\in [/mm] I$ mit [mm] $x\in U_{i_0}$. [/mm] Jetzt folgt:
[mm] $|f_{k_i}(x)-f(x)|\le |f_{k_i}(x) -f_{k_i}(x_{i_0})|+|f_{k_i}(x_{i_0})-f(x_{i_0})|+|f(x_{i_0})-f(x)|\le \delta_1$.
[/mm]
Und damit folgt unter Verwendung von Voraussetzung 2 die Behauptung.
Denn jetzt ist für alle [mm] $n\ge k_0+N$ [/mm] und alle [mm] $x\in [/mm] X$
[mm] $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$.
[/mm]
Ich gebe ja zu, dass das ziemlich technisch ist, aber was knapperes fällt mir ehrlich gesagt nicht ein...
Hoffentlich hilfts dir trotzdem!
banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Sa 09.04.2005 | | Autor: | ilse |
Danke für deine hilfe, und sorry dass ich mich jetzt erst zurückmelde, aber irgendwie ist die e-mail benachrichtigung fehlgeschlagen, ich meld mich dann heut abend nochmal und sag dann ob ichs verstanden hab, das muss ich jetzt erstmal verdauen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Sa 09.04.2005 | | Autor: | ilse |
hallo banachella,
du hast recht, X muss natürlich kompakt sein hab ich nur vergessen hinzuschreiben.
im allgemeinen hab ich deine antwort schon einigermaßen verstanden nur sind mir noch einige sachen unklar.
also erstaml zu dieser [mm] "\Rightarrow" [/mm] richtung:
f ist also stetig wegen:
1. der glm konvergenz der [mm] f_{n}
[/mm]
2. der stetigkeit der [mm] f_{n} [/mm] ( kann es sein dass dies die glm stetigkeit der [mm] f_{n} [/mm] darstellt, weil du ja hier ein universelles [mm] \delta [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] X genommen hast)
3. der dreiecksungleichung
also das versteh ich alles soweit, erscheint mir logisch.
nun sagst du, die 2. Behauptung ist schwächer als die glm konvergenz, für mich ist das leider nicht so offensichtlich, kann man das auch noch irgendwie beweisen?
nun zu dieser [mm] "\Leftarrow" [/mm] richtung:
da wirds für mich schon etwas komplizierter, also ich versteh alles bis zum Absatz mit dieser "offenen überdeckung".
was ist denn eine "offene" überdeckung? hab ich leider noch nie gehört.
und warum kann I endlich gewählt werden? hm irgendwie ist mir das alles etwas suspekt kannst du das vielleicht so n bisschen erklären?
also wenn dieses I endlich ist und ich aus jedem [mm] U_{i} [/mm] ein [mm] x_{i} [/mm] auswähle dann muss es ein größtes [mm] k_{i} [/mm] geben, das leuchtet mir ein.
Allerdings versteh ich denn Sinn davon (dass wir aus jedem [mm] U_{i} [/mm] ein [mm] x_{i} [/mm] auswählen) nicht so wirklich.
auch den sinn der gleichung die dann folgt kann ich nicht so erkennnen, zu was fügst du dieses [mm] f_{k_{i}} [/mm] und dieses [mm] f_{M} [/mm] ein?
und dann schreibst du unten unter der verwendung von voraussetzung 2 folgt die behauptung, denn jetzt ist für alle...
hm also die behauptung war doch dass [mm] f_{n}(x) [/mm] glm konvergent ist, ist dies bewiesen, wenn ich weiss das für alle n [mm] \ge k_{0} [/mm] + N und alle x,y [mm] \in [/mm] X gilt: [mm] |f_{n}(x) [/mm] - [mm] f_{n}(y) [/mm] < [mm] \varepsilon? [/mm]
tut mir leid wenn ich dich mit meinen fragen so überschütte, aber das ist halt alles ziemlich neu für mich, ich bin echt dankbar dass du mir hilfst!
schönen abend noch!
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Hallo ilse,
zu meiner Schande muss ich gestehen, dass sich da ein paar Tippfehler gemacht habe. Ich wurde wohl am Ende etwas ungeduldig (sowas sollte einem Mathematiker eigentlich nie passieren!), da schleicht sich dann der Fehlerteufel ein. Sorry! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
So, an die Arbeit:
> 2. der stetigkeit der [mm]f_{n}[/mm] ( kann es sein dass dies die
> glm stetigkeit der [mm]f_{n}[/mm] darstellt, weil du ja hier ein
> universelles [mm]\delta[/mm] für alle x,y [mm]\in[/mm] X genommen
> hast)
Eigentlich habe ich hier keine gleichmäßige Stetigkeit vorausgesetzt, ich hab's nur schlecht formuliert. [mm] $x\in [/mm] X$ soll nämlich fest sein. Werde das noch ändern.
> nun sagst du, die 2. Behauptung ist schwächer als die glm
> konvergenz, für mich ist das leider nicht so
> offensichtlich, kann man das auch noch irgendwie beweisen?
Dazu wählst du [mm] $N=n_0(\varepsilon)$, $\delta=\varepsilon$ [/mm] und $k=0$. Dann folgt 2. aus der gleichmäßigen Konvergenz.
> da wirds für mich schon etwas komplizierter, also ich
> versteh alles bis zum Absatz mit dieser "offenen
> überdeckung".
> was ist denn eine "offene" überdeckung? hab ich leider
> noch nie gehört.
Eine sog. offene Überdeckung ist eine Überdeckung mit offenen Mengen. Anders ausgedrückt: Du hast ein System [mm] $(U_i)_{i\in I}$ [/mm] von offenen Mengen mit [mm] $X\subset \bigcup_{i\in I}U_i$.
[/mm]
> und warum kann I endlich gewählt werden?
Das ist die Definition von Kompaktheit, wie sie in jedem (einführenden) Analysis-Buch zu finden ist:
Jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung.
Das bedeutet: Bei jeder offene Überdeckung von $X$ gibt es eine Möglichkeit, soviele der [mm] $U_i$ [/mm] wegzulassen, bis nur noch endlich viele übrig sind, und dieser Rest überdeckt $X$ immer noch.
> Allerdings versteh ich denn Sinn davon (dass wir aus jedem
> [mm]U_{i}[/mm] ein [mm]x_{i}[/mm] auswählen) nicht so wirklich.
Der tiefere Sinn dahinter ist eigentlich nur zu zeigen, dass $k(x)$ beschränkt ist, also dass [mm] $k_0$ [/mm] existiert. Also wähle ich die [mm] $U_i$ [/mm] so klein, dass ich allen [mm] $x\in [/mm] X$ dasselbe [mm] $k_i$ [/mm] zuordnen kann. Das sind dann nur endlich viele, also gibt's ein größtes.
> auch den sinn der gleichung die dann folgt kann ich nicht
> so erkennnen, zu was fügst du dieses [mm]f_{k_{i}}[/mm] und dieses
> [mm]f_{M}[/mm] ein?
Ja, [mm] $f_M$ [/mm] ist ein Überbleibsel von meinem 1.Beweisentwurf. Das habe ich aber inzwischen geändert.
Und der Grund, warum ich [mm] $f_{k_i}$ [/mm] benutze ist folgender: Ich möchte zeigen, dass [mm] $k_i$ [/mm] das $k$ ist, dass zu $x$ gehört.
> hm also die behauptung war doch dass [mm]f_{n}(x)[/mm] glm
> konvergent ist, ist dies bewiesen, wenn ich weiss das für
> alle n [mm]\ge k_{0}[/mm] + N und alle x,y [mm]\in[/mm] X gilt: [mm]|f_{n}(x)[/mm]
> - [mm]f_{n}(y)[/mm] < [mm]\varepsilon?[/mm]
Hier sind wir wieder bei meinen Schnitzern: Es heißt natürlich
[mm]|f_{n}(x) -f(x)| < \varepsilon[/mm]. Habe aber auch das schon nachgebessert.
Aber warum folgt das? Nach 2. ist dann für [mm] $x\in U_i$:
[/mm]
[mm] $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge N+k_i$. [/mm] Insbesondere natürlich auch für alle [mm] $n\ge N+k_0$. [/mm] Und das gilt dann für alle [mm] $x\in [/mm] X$.
> tut mir leid wenn ich dich mit meinen fragen so
> überschütte, aber das ist halt alles ziemlich neu für mich,
> ich bin echt dankbar dass du mir hilfst!
Mir tut's leid, dass der Beweis so eklig ist. Schön ist etwas anderes. Aber bei solchen Behauptungen hat man meist keine Wahl, da muss man auf die Epsilontik zurückgreifen...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 10.04.2005 | | Autor: | ilse |
hallo banachella,
erstmal habe ich eine ganz grundlegende frage und zwar habe ich in meiner angabe in der 2. bedingung stehn:
[mm] |f_{k+n}(x-f(x))|< \varepsilon,
[/mm]
ich glaube du bist aber von
[mm] |f_{k+n}(x)-f(x)|< \varepsilon [/mm] ausgegangen.
kann aber gut sein das meine angabe falsch ist.
so dann versuch ich das mal so in meinen worten zu erklären wie ich alles verstanden hab:
> Dazu wählst du $ [mm] N=n_0(\varepsilon) [/mm] $, $ [mm] \delta=\varepsilon [/mm] $ und k=0. Dann folgt 2. aus der gleichmäßigen Konvergenz.
das versteh ich vorrausgesetzt du bist tatsächlich von der anderen angabe ausgegangen.
die rückrichtung beweis ich dann folgendermaßen.
ich nehm lauter kleine Mengen [mm] U_{i} [/mm] so dass jedes x [mm] \in [/mm] X in so einer Menge drin liegt (kann ich mir das so vorstellen, dass ich die große Menge X in lauter kleine, gleich große Mengen [mm] U_{i} [/mm] aufteil) . dann kann ich zu jedem [mm] U_{i} [/mm] ein [mm] k_{i} [/mm] bestimmen das für alle x [mm] \in U_{i} [/mm] gilt (kann es sein dass dir in diesem absatz ein fehler unterlaufen ist und es x [mm] \in U_{i} [/mm] heißen muss statt x [mm] \in [/mm] X). Da es endlich viele Mengen gibt, gibt es ein größtes [mm] k_{i} [/mm] = [mm] k_{0}.
[/mm]
mit dieser gleichung [mm] $|f_{k_i}(x)-f(x)|\le |f_{k_i}(x) -f_{k_i}(x_{i_0})|+|f_{k_i}(x_{i_0})-f(x_{i_0})|+|f(x_{i_0})-f(x)|\le \delta_1$. [/mm] zeig ich dann dass mein [mm] k_{i} [/mm] tatsächlich dass i ist, dass ich suche. ok dann folgt aus 2. die glm. konvergenz (vorausgesetzt die angabe war falsch)
juhu ich glaub ich habs verstanden, ich hoffe es wenigstens, vielen dank für deine hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 So 10.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo ilse!
> erstmal habe ich eine ganz grundlegende frage und zwar habe
> ich in meiner angabe in der 2. bedingung stehn:
>
> [mm]|f_{k+n}(x-f(x))|< \varepsilon,[/mm]
Also, das kann schon mal gar nicht sein. Denn $f$ ist eine Funktion $f:X [mm] \to \IR$, [/mm] und dann ist $x-f(x)$ i.A. nicht definiert.
> ich glaube du bist aber von
>
> [mm]|f_{k+n}(x)-f(x)|< \varepsilon[/mm] ausgegangen.
>
> kann aber gut sein das meine angabe falsch ist.
Mit Sicherheit. 
> so dann versuch ich das mal so in meinen worten zu erklären
> wie ich alles verstanden hab:
>
> > Dazu wählst du [mm]N=n_0(\varepsilon) [/mm], [mm]\delta=\varepsilon[/mm] und
> k=0. Dann folgt 2. aus der gleichmäßigen Konvergenz.
>
> das versteh ich vorrausgesetzt du bist tatsächlich von der
> anderen angabe ausgegangen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die rückrichtung beweis ich dann folgendermaßen.
> ich nehm lauter kleine Mengen [mm]U_{i}[/mm] so dass jedes x [mm]\in[/mm] X
> in so einer Menge drin liegt (kann ich mir das so
> vorstellen, dass ich die große Menge X in lauter kleine,
> gleich große Mengen [mm]U_{i}[/mm] aufteil) .
Gleich groß müssen die nicht sein.
> dann kann ich zu jedem
> [mm]U_{i}[/mm] ein [mm]k_{i}[/mm] bestimmen das für alle x [mm]\in U_{i}[/mm] gilt
> (kann es sein dass dir in diesem absatz ein fehler
> unterlaufen ist und es x [mm]\in U_{i}[/mm] heißen muss statt x [mm]\in[/mm]
> X).
Wo meinst du genau? Ich konnte dies nicht finden.
> Da es endlich viele Mengen gibt, gibt es ein größtes
> [mm]k_{i}[/mm] = [mm]k_{0}.[/mm]
> mit dieser gleichung [mm]|f_{k_i}(x)-f(x)|\le |f_{k_i}(x) -f_{k_i}(x_{i_0})|+|f_{k_i}(x_{i_0})-f(x_{i_0})|+|f(x_{i_0})-f(x)|\le \delta_1[/mm].
> zeig ich dann dass mein [mm]k_{i}[/mm] tatsächlich dass i ist, dass
> ich suche. ok dann folgt aus 2. die glm. konvergenz
> (vorausgesetzt die angabe war falsch)
> juhu ich glaub ich habs verstanden, ich hoffe es
> wenigstens, vielen dank für deine hilfe!!!
Okay, dann hast du mir was voraus, denn ich habe den Beweis noch nicht so wirklich verstanden. Vielleicht kannst du mir ihn ja erklären, dann siehst du gleich, ob du ihn verstanden hast.
Warum gilt denn oben:
[mm] $|f_{k_i}(x_{i_0})-f(x_{i_0})| [/mm] < [mm] \frac{\delta_1}{3}$ [/mm] ?
Hatte man [mm] $k_i$ [/mm] (eigentlich ja [mm] $k_{i_0}$, [/mm] oder?) gerade so gewählt? Kann ich aber gerade nicht entdecken... Aber ich schaue es mir jetzt noch einmal an, vielleicht stehe ich ja auch mal wieder auf dem Schlauch. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 So 10.04.2005 | | Autor: | ilse |
hallo stefan,
> Wo meinst du genau? Ich konnte dies nicht finden.
hier:
> Der tiefere Sinn dahinter ist eigentlich nur zu zeigen, dass $ k(x) $
> beschränkt ist, also dass $ [mm] k_0 [/mm] $ existiert. Also wähle ich die $ [mm] U_i [/mm] $ so
> klein, dass ich allen $ [mm] x\in [/mm] X $ dasselbe $ [mm] k_i [/mm] $ zuordnen kann. Das sind dann nur endlich viele, also gibt's ein größtes.
steht in der 2. antwort von
banachella
> Warum gilt denn oben:
> $ [mm] |f_{k_i}(x_{i_0})-f(x_{i_0})| [/mm] < [mm] \frac{\delta_1}{3} [/mm] $ ?
> Hatte man $ [mm] k_i [/mm] $ (eigentlich ja $ [mm] k_{i_0} [/mm] $, oder?) gerade so gewählt? Kann ich aber gerade nicht entdecken... Aber ich schaue es mir jetzt noch einmal an, vielleicht stehe ich ja auch mal wieder auf dem Schlauch.
stimmt das [mm] k_{i} [/mm] wurde glaub wirklich net so gewählt, und [mm] \delta_{1} [/mm] bzw. [mm] \delta_{2} [/mm] müsste glaub tatsächlich von x abhängen, weil ja keine glm stetigkeit sondern nur stetigkeit gegeben ist.
da hab ich auch noch eine Frage zu deinem Beweis und zwar hier:
> Da weiterhin $ [mm] f_{k(x)} [/mm] $ stetig ist, gibt es ein $ [mm] \delta_2(x) [/mm] $ mit
> $ [mm] |f_{k(x)}(x) [/mm] - [mm] f_{k(x)}(y)| [/mm] < [mm] \frac{\delta(x)}{3} [/mm] $
> für alle $ y [mm] \in [/mm] X $ mit $ |x-y| < [mm] \delta_2(x) [/mm] $.
müsste hier nicht [mm] \bruch{ \delta}{3} [/mm] satt [mm] \bruch{ \delta(x)}{3} [/mm] stehn, weil du doch sonst ein problem mit der dreiecksgleichung weiter unten kriegst.
gut, ich glaub jetzt kann ich das ganze mal zu papier bringen, wenn mir dann noch irgendetwas unklar ist meld ich mich nochmal.
danke für eure hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo ilse!
> hier:
>
> > Der tiefere Sinn dahinter ist eigentlich nur zu zeigen,
> dass [mm]k(x)[/mm]
> > beschränkt ist, also dass [mm]k_0[/mm] existiert. Also wähle ich die
> [mm]U_i[/mm] so
> > klein, dass ich allen [mm]x\in X[/mm] dasselbe [mm]k_i[/mm] zuordnen kann.
> Das sind dann nur endlich viele, also gibt's ein größtes.
Stimmt, das war unglücklich ausgedrückt.
> da hab ich auch noch eine Frage zu deinem Beweis und zwar
> hier:
>
> > Da weiterhin [mm]f_{k(x)}[/mm] stetig ist, gibt es ein [mm]\delta_2(x)[/mm]
> mit
> > [mm]|f_{k(x)}(x) - f_{k(x)}(y)| < \frac{\delta(x)}{3}[/mm]
> > für
> alle [mm]y \in X[/mm] mit [mm]|x-y| < \delta_2(x) [/mm].
>
> müsste hier nicht [mm]\bruch{ \delta}{3}[/mm] satt [mm]\bruch{ \delta(x)}{3}[/mm]
> stehn, weil du doch sonst ein problem mit der
> dreiecksgleichung weiter unten kriegst.
Richtig! Das war ein Schreibfehler, den ich jetzt verbessert habt. Nun sollte der Beweis aber wirklich vollständig korrekt sein.
> gut, ich glaub jetzt kann ich das ganze mal zu papier
> bringen, wenn mir dann noch irgendetwas unklar ist meld ich
> mich nochmal.
Das kannst du sehr gerne tun. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Mi 13.04.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo ilse,
> stimmt das [mm]k_{i}[/mm] wurde glaub wirklich net so gewählt, und
> [mm]\delta_{1}[/mm] bzw. [mm]\delta_{2}[/mm] müsste glaub tatsächlich von x
> abhängen, weil ja keine glm stetigkeit sondern nur
> stetigkeit gegeben ist.
tatsächlich folgt aus der Stetigkeit auf einem Kompaktum auch die gleichmäßige Stetigkeit. Aber ganz ohne Kommentar sollte man - und damit meine ich mich - das eigentlich auch nicht verwenden...
Gruß, banachella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 So 10.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Da ich den Beweis von banachella nicht verstehe, hier ein Alternativbeweis für die Rückrichtung (der aber natürlich ziemlich geklaut ist von banachella  ):
Es sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt.
Weiterhin sei $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig gewählt.
Nach Voraussetzung konvergiert [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] punktweise gegen $f$. Es gibt also $k(x)$, so dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] k(x)$ gilt:
[mm] $|f_{k(x)}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \frac{\delta}{3}$,
[/mm]
wobei [mm] $\delta$ [/mm] wie in Voraussetzung 2 gewählt ist.
Da $f$ nach Voraussetzung 1 stetig ist, gibt es ein [mm] $\delta_1(x)$ [/mm] mit
$|f(x)-f(y)| < [mm] \frac{\delta}{3}$
[/mm]
für alle $y [mm] \in [/mm] X$ mit $|x-y| < [mm] \delta_1(x)$.
[/mm]
Da weiterhin [mm] $f_{k(x)}$ [/mm] stetig ist, gibt es ein [mm] $\delta_2(x)$ [/mm] mit
[mm] $|f_{k(x)}(x) [/mm] - [mm] f_{k(x)}(y)| [/mm] < [mm] \frac{\delta}{3}$
[/mm]
für alle $y [mm] \in [/mm] X$ mit $|x-y| < [mm] \delta_2(x)$.
[/mm]
Somit gilt für alle $y [mm] \in U_{\delta(x)}$ [/mm] mit [mm] $\delta(x):=\min(\delta_1(x),\delta_2(x))$ [/mm] mit der Dreiecksungleichung:
[mm] $|f_{k(x)}(y) [/mm] - f(y)| < [mm] \delta$.
[/mm]
Es gilt:
$X = [mm] \bigcup\limits_{x \in X} U_{\delta(x)}$.
[/mm]
Da $X$ kompakt ist, gibt es [mm] $i_1,\ldots,i_n$ [/mm] mit
$X = [mm] U_{\delta(x_{i_1})} \cup \ldots \cup U_{\delta(x_{i_n})}$.
[/mm]
Wähle nun [mm] $k_0:=\max(k(x_1),\ldots,k(x_n))$.
[/mm]
Dann ergibt sich für alle $x [mm] \in [/mm] X$:
[mm] $|f_{k_0}(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \delta$.
[/mm]
Nach Voraussetzung 2 folgt dann:
[mm] $|f_{k_0 + n}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n>N$ und alle $x [mm] \in [/mm] X$,
also die gleichmäßige Konvergenz.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
leider gibt es in deinem Beweis (glaube ich) ein Loch:
Die $k(x)$ wählst du in Abhängigkeit von der punktweisen Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$. Aber eigentlich ist $k(x)$ bereits durch die Wahl von $x$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] gegeben.
Aber desto länger ich über diesen Beweis nachdenke, desto mehr frage ich mich, ob man Voraussetzung 2. eigentlich braucht?! Kennst du vielleicht ein Gegenbeispiel?
Gruß, banachella
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