Bestimmung Extrem/-Wendepunkte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mo 28.11.2011 | | Autor: | xilef |
| Aufgabe | Bestimmen Sie lokale Extrempunkte und Wendepunkte für die durch die folgenden Formeln definierten Funktionen:
b) y = [mm] \bruch{ln(x)}{x^{2}} [/mm] |
Hallo,
ich weiß, wie ich theoretisch die lokalen Extrempunkte und Wendepunkte berechne, aber stimmt's auch?
Wenn ich die 1. Ableitung bilde:
y' = [mm] \bruch{\bruch{1}{x}\*\bruch{x^{2}}{1}-ln(x)*(2x)}{x^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{1-2ln(x)}{x^{3}} [/mm] (vereinfacht)
Wenn ich die 1. Ableitung = 0 setze und nach x auflöse, dann komme ich auf
x = [mm] e^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ist das korrekt?
Ich weiß, da mir das Ergebnis bekannt ist, dass es ausschließlich einen Wendepunkt für diese Funktion gibt? Kann ich das vorher irgendwo dran sehen?
Eine 2. Ableitung davon zu bilden, stelle ich mir schwierig vor.
Vielen Dank für alle Tipps!
Viele Grüße
Felix
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Hallo Felix
> Bestimmen Sie lokale Extrempunkte und Wendepunkte für die
> durch die folgenden Formeln definierten Funktionen:
>
> b) y = [mm]\bruch{ln(x)}{x^{2}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß, wie ich theoretisch die lokalen Extrempunkte und
> Wendepunkte berechne, aber stimmt's auch?
>
> Wenn ich die 1. Ableitung bilde:
>
> y' =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{x}\*\bruch{x^{2}}{1}-ln(x)*(2x)}{x^{4}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-2ln(x)}{x^{3}}[/mm] (vereinfacht)
>
Die Ableitung stimmt soweit.
> Wenn ich die 1. Ableitung = 0 setze und nach x auflöse,
> dann komme ich auf
>
> x = [mm]e^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
>
Ja, ist korrekt. Was kannst du daraus schließen bzw. was musst du noch überprüfen, ob es sich wirklich um ein Extremum handelt bzw. um welche Art?
> Ich weiß, da mir das Ergebnis bekannt ist, dass es
> ausschließlich einen Wendepunkt für diese Funktion gibt?
> Kann ich das vorher irgendwo dran sehen?
>
> Eine 2. Ableitung davon zu bilden, stelle ich mir schwierig
> vor.
Ist gar nicht so schwierig, wenn du den Bruch als Produkt schreibst
[mm] f'(x)=x^{-3}*(1-2ln(x))
[/mm]
Diesen Term kannst du nach den Produktregel locker ableiten und schauen, ob Wendestellen existieren.
>
> Vielen Dank für alle Tipps!
>
> Viele Grüße
> Felix
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mo 28.11.2011 | | Autor: | xilef |
Alles klar, das war doch einfacher als gedacht:
Die 2. Ableitung habe ich jetzt.
[mm] y''=-5x^{-4}+6x^{-4}ln(x)
[/mm]
Diese nach x aufgelöst, dann bekomme ich auch das Ergebnis, welches für den Wendepunkt angegeben war:
[mm] x=e^{\bruch{5}{6}}
[/mm]
Auf dem Weg dorthin habe ich [mm] x^{-4} [/mm] ausgeklammert. Woher weiß ich denn jetzt, dass ich an der Stelle x=0 kein Wendepunkt habe? Geht das nur über die 3. Ableitung, welche ich eh noch brauche, um zu wissen, ob es sich um ein Wendepunkt oder Sattelpunkt handelt?
Um auf deine Frage noch einzugehen, wenn ich [mm] x=e^{0.5} [/mm] in y'' einsetze, dann weiß ich ob tatsächlich ein Extremum an dieer Stelle existiert. Richtig?
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Hallo nochmal
> Alles klar, das war doch einfacher als gedacht:
>
> Die 2. Ableitung habe ich jetzt.
>
> [mm]y''=-5x^{-4}+6x^{-4}ln(x)[/mm]
Richtig!
> Diese nach x aufgelöst, dann bekomme ich auch das
> Ergebnis, welches für den Wendepunkt angegeben war:
> [mm]x=e^{\bruch{5}{6}}[/mm]
>
> Auf dem Weg dorthin habe ich [mm]x^{-4}[/mm] ausgeklammert. Woher
> weiß ich denn jetzt, dass ich an der Stelle x=0 kein
> Wendepunkt habe?
Die Funktion ist an der Stelle x=0 nicht definiert(nicht durch 0 teilen), also kann dort auch kein Wendepunkt liegen
>Geht das nur über die 3. Ableitung,
> welche ich eh noch brauche, um zu wissen, ob es sich um ein
> Wendepunkt oder Sattelpunkt handelt?
Genau. Jetzt 3. Ableitung bilden und überprüfen, ob es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt(Das ist der Fall, wenn die 3. Ableitung an der Stelle ungleich 0 ist)
>
> Um auf deine Frage noch einzugehen, wenn ich [mm]x=e^{0.5}[/mm] in
> y'' einsetze, dann weiß ich ob tatsächlich ein Extremum
> an dieer Stelle existiert. Richtig?
Einsetzen alleine bringt dir nichts.
Ihr hattet doch bestimmt hinreichende und notwendige Kriterien für Extrema. Wenn [mm] f''(x_{1})<0 [/mm] und [mm] f(x_{1})=0, [/mm] dann existiert bei [mm] x_{1} [/mm] ein Maximum, wenn [mm] f''(x_{2})>0 [/mm] und [mm] f'(x_{2})=0, [/mm] dann ein Minimum.
Gruß
TheBozz-mismo
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