Bestimmung komplexer Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Micky25 |
| Aufgabe | Bestimmen sie von den folgenden komplexen Zahlen jeweils den Imaginärteil, den Realteil, den Betrag und das Argument.
a.) [mm] z_{1} [/mm] = [mm] i^{n}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
|
Komme bei dieser Art von Fragestellung gar nicht weiter hatten sie heute auch in der Übung aber da hat der Hiwi mehr für sich selbst gerechnet als für die Allgemeinheit.
Ich weiss nur aus den Vorlesungen, dass eine Komplexe Zahl wie folgt aussehen muss:
z = a + i*b wobei a den Realteil und b den Imaginärteil der Zahl angibt.
Ferner ist mir bekannt, dass sich der Betrag als Wurzel der Quadrate des Real- und Imaginärteils berechnet also wie folgt: |z| = [mm] \wurzel{Re(z)^2+Im(z)^2}
[/mm]
Das Argument hat irgendwas mit der Darstellung in Polarkoordinatenform zu tun da blicke ich aber nicht ganz durch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
MfG Micky
|
|
| |
|
Hi,
es gibt 2 Möglichkeiten eine Komplexe Zahl darzustellen
zum einen z = x + iy hier ist x = Re(z) "Realteil" und y = Im(z) "Imaginärteil"
und z = r [mm] e^{i \phi} [/mm] hier ist r = |z| und [mm] \phi [/mm] = arg (z)
z.B. ist der Punkt z = i in Polarkoordinaten z = [mm] e^{ i \bruch {\pi}{2} } [/mm]
und dann kennst du ja noch [mm] i^{2} [/mm] = -1 usw.
zur darstellung in Polarkoordinaten....stell dir einfach vor wo dein Punkt in einem Koordinatensystem liegt mit x-Achse = Re(z) und y-Achse = Im(z)
Nehmen wir jetzt z.b. z = 1 + i ; zeichne den punkt in das Koordinatensystem.... der Abstand vom 0 Punkt ist dein r ... und dein Winkel [mm] \phi [/mm] ist der Winkel (in Bogenmaß) zwischen x-Achse und dieser Strecke (im mathematisch positiven Sinn, also gegen Uhrzeigersinn) hier wären es [mm] \bruch {\pi}{4}
[/mm]
Hoffe es hilft dir ein bisschen weiter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Micky25 |
Da liegt ja gerade mein Problem:
Ich erkenne nicht was bei [mm] z_{1} [/mm] = [mm] i^{n} [/mm] mein Realteil ist. Vor dem i steht ja eine 1 also ist der Imaginärteil ja 1 denke ich. Wenn ich den Realteil wüsste könnte ich mir das ganze auch im Koordinatensystem vorstellen.
Inwieweit hilft mir den an meiner konkreten Aufgabe [mm] i^2 [/mm] = -1 weiter?
Eigentlich möchte ich nur wissen wie man Realteil und Imaginärteil bestimmt weil das Argument und der Betrag ja hiervon abhängen. Den Imaginärteil kann man ja glaube ich ablesen (1 eben wie ich glaube) den Realteil hingegen nicht.
Könntet ihr mir da noch einmal unter die Arme greifen?
MfG Micky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Micky,
das Auftreten von Real- und Imaginärteil hängt von der betrachteten Zahl ab Die komplexe Zahl i lässt sich ja auch schreiben als [mm] 0 + i\cdot 1 [/mm], die Zahl ist rein imaginär. Multipliziere ich diese Zahl mit sich selbst, so entsteht hierbei die rein reelle Zahl -1, diese Zahl hat also keinen Imaginärteil. Was passiert wohl, wenn Du -1 mit i multiplizierst?
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Micky25 |
Würde das dann heißen, dass für meine Aufgabe gilt:
[mm] Re(z_{1}) [/mm] = 0
[mm] Im(z_{1}) [/mm] = 1
[mm] |z_{1}| [/mm] = 1
Nur wie ich auf [mm] arg(z_{1}) [/mm] komme ist mir noch ein Rätsel.
Gruß Micky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Berechnung stimmt. Den Winkel bekommst Du aus dem Arcustangens des Verhältnisses von Imaginär- zu Realteil. Denke dabei an die Mehrdeutigkeit des Arcustangens. Bei Dir kommt 90 Grad raus. Das erkennst Du auch sofort in der komplexen Ebene.
Gruß,
Infinit
|
|
|
|
