Beweis ...=x^m < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Di 22.05.2007 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Seien die Zahlen a(m,n) definiert durch:
[mm] \summe_{n=0}^{m} [/mm] a(m,n) [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (x+i-1) = [mm] x^m [/mm] |
Hallo nochmal!
Bei solchen doppelten Sachen bekomm ich die Krise....
Wie gehe ich hier am besten vor um das zu zeigen? Und was sind denn jetzt die komischen a(m,n)?
Hoffe damit kommt irgendjemand besser klar als ich.
Danke schonmal!
LG
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Links steht ein Polynom vom Grad [mm]\leq m[/mm], rechts ein Polynom vom Grad [mm]m[/mm]. Die Polynome sollen gleich sein. Das gibt dir Bedingungen für die [mm]a(m,n)[/mm], aus denen diese sich ermitteln lassen.
[mm]a(0,0) = 1[/mm]
[mm]a(1,0) = 0 \, , \ \ a(1,1) = 1[/mm]
[mm]a(2,0) = 0 \, , \ \ a(2,1) = -1 \, , \ \ a(2,2) = 1[/mm]
[mm]a(3,0) = 0 \, , \ \ a(3,1) = 1 \, , \ \ a(3,2) = -3 \, , \ \ a(3,3) = 1[/mm]
Und hier beispielhaft die Berechnung von [mm]a(4,n)[/mm]:
[mm]\sum_{n=0}^{4}~a(4,n) \prod_{k=1}^{n}~(x+k-1) = x^4[/mm]
Auflösen der Summe ([mm]n=0,1,2,3,4[/mm]):
[mm]a(4,0) \prod_{k=1}^{0}~(x+k-1) + a(4,1) \prod_{k=1}^{1}~(x+k-1) + a(4,2) \prod_{k=1}^{2}~(x+k-1) + a(4,3) \prod_{k=1}^{3}~(x+k-1) + a(4,4) \prod_{k=1}^{4}~(x+k-1) = x^4[/mm]
Auflösen der Produkte (rückwärts laufende Produkte sind 1):
[mm]a(4,0) + a(4,1) \, x + a(4,2) \, x (x+1) + a(4,3) \, x (x+1) (x+2) + a(4,4) \, x (x+1) (x+2) (x+3)[/mm] = [mm] x^4
[/mm]
Ausmultiplizieren und nach Potenzen von [mm]x[/mm] ordnen:
[mm]a(4,4) \, x^4 + \left( 6 a(4,4) + a(4,3) \right) x^3 + \left( 11a(4,4) + 3a(4,3) + a(4,2) \right) x^2 + \left( 6a(4,4) + 2a(4,3) + a(4,2) + a(4,1) \right) x + a(4,0) = x^4[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm]a(4,4) = 1[/mm]
[mm]6 a(4,4) + a(4,3) = 0[/mm]
[mm]11a(4,4) + 3a(4,3) + a(4,2) = 0[/mm]
[mm]6a(4,4) + 2a(4,3) + a(4,2) + a(4,1) = 0[/mm]
[mm]a(4,0) = 0[/mm]
Aus den fünf Gleichungen lassen sich die [mm]a(4,n)[/mm] ermitteln.
Du kannst jetzt ja einmal die niedrigeren [mm]m[/mm]-Werte nachrechnen, um zu schauen, ob du auf meine obigen Ergebnisse kommst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Lee1601 |
vielen lieben dank - ich gucke mir das gleich direkt mal an
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:31 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | siehe oben
dann: drücken sie die a(m,n) mit Hilfe der Stirling-Zahlen aus |
hallo nochmal!
leider habe ich die eigentliche aufgabenstellung vergessen.
die antwort von leopold hatte ich verstanden nur leider habe ich dann erst gesehen dass man eigentlich was anderes machen soll - sorry!
hoffe, das klappt noch rechtzeitig mit einer antwort!
danke!
glg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 30.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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