Beweis Inf/Sup < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:09 Mi 19.11.2008 | | Autor: | jos3n |
| Aufgabe | Seien S,T Teilmengen von [mm] \IR
[/mm]
S [mm] \pm [/mm] T:={s [mm] \pm [/mm] t | s aus S und t aus T}
a)Bestimmen sie:
[0,1]-(0-1)
und für S*T
[0,1]*(0,1)
b) S,T seien beschränkte Teilmengen von [mm] \IR. [/mm] Geben sie Formeln an für:
sup(S+T)
inf(S+T)
sup(S-T)
inf(S-T)
sup(S*T)
inf(S*T) |
Jemand einen Ansatz für mich, würde mich sehr freuen :)
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> Seien S,T Teilmengen von [mm]\IR[/mm]
>
> S [mm]\pm[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
T:={s [mm]\pm[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
t | s aus S und t aus T}
>
> a)Bestimmen sie:
>
> [0,1]-(0-1)
>
> und für S*T
>
> [0,1]*(0,1)
>
> b) S,T seien beschränkte Teilmengen von [mm]\IR.[/mm] Geben sie
> Formeln an für:
> sup(S+T)
> inf(S+T)
> sup(S-T)
> inf(S-T)
> sup(S*T)
> inf(S*T)
> Jemand einen Ansatz für mich, würde mich sehr freuen :)
Hallo,
ich denke, daß Du weißt, daß wir hier aufeigene Lösungsansätze Wert legen.
Der Ansatz:
Vielleicht beschreibst Du erstmal mit Worten, was die Menge S+T ist. Wie wird die gebildet, welche Elemente sind da drin.
Wen ndas geklärt ist, könntest Du diese Erkenntnisse schonmal versuchen, auf die Differenz der Intervalle anzuwenden.
Ist das [mm] \* [/mm] beim zweiten eigentlich ein Tippfehler?
Ansonsten müßtest Du auch davon irgendeine Def. vorliegen haben.
Das nächste, was vor dem Beweisen zu klären wäre, sind die Begriffe sup und inf.
Wie ist das definiert?
Und dann: was bedeutet sup(S+T)?
Gruß v. Angela
P.S.: Vielleicht bearbeitest Du mal den Eintrag im Profil.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Do 20.11.2008 | | Autor: | jos3n |
zu a)
[0,1]-(0,1) = {0,1}
mehr bleibt da ja nicht über oder? also ist min=0 und max=1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zu a)
>
> [0,1]-(0,1) = {0,1}
> mehr bleibt da ja nicht über oder? also ist min=0 und
> max=1
das, was Du schreibst, ist leider Unfug. Es ist z.B. [mm] $-\,\frac{1}{2} \in (\;[0,\,1]-(0,\,1)\;)$ [/mm] wegen [mm] $-\,\frac{1}{2}=\underbrace{0}_{\in [0,1]}\;-\;\underbrace{\frac{1}{2}}_{\in (0,1)}\,.$
[/mm]
(Es ginge auch [mm] $-\,\frac{1}{2}=\underbrace{\frac{1}{4}}_{\in [0,\,1]}\;-\;\underbrace{\frac{3}{4}}_{\in (0,\,1)}$; [/mm] die Darstellung mit den Elementen aus [mm] $[0,\,1]$ [/mm] und [mm] $(0,\,1)$ [/mm] muss also nicht eindeutig sein, es muss nur (mindestens) eine solche Darstellung existieren.)
Es gilt für [mm] $A,\,B \subset \IR\,:$
[/mm]
Es ist [mm] $D:=A-B:=\{d \in \IR:\; \exists a \in A \text{ und }\exists b \in B:\;d=a-b\}\,.$
[/mm]
Man kann dann auch (in gleichwertiger Weise) sagen:
Es gilt für [mm] $A,\,B \subset \IR\,:$
[/mm]
Es gilt [mm] $S:=A+B:=\{s \in \IR:\; \exists a \in A \text{ und }\exists b \in B:\;s=a+b\}\,.$
[/mm]
Und dann definiert man [mm] $-B:=\{-b:\;b \in B\}$ [/mm] und danach [mm] $D:=A-B:=A+(-B)\,,$ [/mm] d.h. es gilt jedenfalls [mm] $\,A-B=A+(-B)\,.$
[/mm]
Oben solltest Du erhalten:
editiert (koorigiert) (@ Marc: Danke!): [mm] $$[0,\,1]-(0,\,1)=(-1,\,\blue{1})\,.$$
[/mm]
Dazu könntest Du mal versuchen, Dir die folgende Gleichheit zu überlegen (und es kann helfen, diese geometrisch zu deuten):
[mm] $$[0,\,1]-(0,\,1)=\bigcup_{x \in [0,\,1]}\underbrace{(-1+x,\,x)}_{=\{x\}-(0,\,1)}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Do 20.11.2008 | | Autor: | jos3n |
achso ist das gemeint: ich dachte wenn man von [0,1] alles das hier abzieht (0,1) dann bleibt nur noch die 0 und die 1.
aber du sagst ja a aus [0,1] und b aus (0,1) : a-b.
alles klar danke schön
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> achso ist das gemeint: ich dachte wenn man von [0,1] alles
> das hier abzieht (0,1) dann bleibt nur noch die 0 und die
> 1.
ja, ich kann schon verstehen, dass Du da durcheinanderkommst, weil manche Autoren anstelle von $M [mm] \setminus [/mm] N$ auch [mm] $M\,-\,N$ [/mm] schreiben. Hier bedeutet [mm] $M\,-\,N$ [/mm] aber i.a. etwas anderes als $M [mm] \setminus N\,.$
[/mm]
> aber du sagst ja a aus [0,1] und b aus (0,1) : a-b.
Ja. Aber Du hattest das auch selber oben geschrieben:
>S $ [mm] \pm [/mm] $ [mm] T:=$\{$s $ \pm $ t | s aus S und t aus T$\}$ [/mm]
Vielleicht hattest Du das nicht ganz verstanden oder weißt es nicht wirklich zu interpretieren?
> alles klar danke schön
Ich denke bzw. hoffe, dass diese Unklahrheit nun beseitigt ist 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 24.11.2008 | | Autor: | jos3n |
und wie beweisst man nun b)?
S,T beschränkte Teilmengen von [mm] \IR
[/mm]
dann ist doch sup(S+T) = supS + supT oder?
aber wie zeigt man das?!
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 06:06 Di 25.11.2008 | | Autor: | Marc |
Hallihallo Marcel
> Oben solltest Du erhalten:
>
> [mm][0,\,1]-(0,\,1)=(-1,\,2)\,.[/mm]
mMn klitzekleines Fehlerchen:
[mm][0,\,1]-(0,\,1)=(-1,\,1)\,.[/mm]
Liebe Grüße,
Marc
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