Beweis: Körper mit 9 Elementen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mo 03.07.2006 | | Autor: | tempo |
| Aufgabe | Sei [mm] I\subset\IZ/3\IZ[/mm] [t] das von [mm] t^{2}+1 [/mm] erzeugte Ideal, also I=( [mm] (t^{2}+1)*f [/mm] | f [mm] \in \IZ/3\IZ[/mm] [t] ).
Sei [mm] K:=(\IZ/3\IZ[/mm] [t])/I.
Zeigen Sie: K ist ein Körper mit 9 Elementen. |
guten abend an alle mathem.
habe ein problem mit obiger aufgabe. also ich weiß das [mm] \IZ/3\IZ [/mm] aus 3 äquivalenzklassen (0,1,2) besteht, also [mm] \IZ/3\IZ[/mm] [t] alle polynome die rest 0,1,2 haben. aber was heißt denn jetzt [mm] (\IZ/3\IZ[/mm] [t])/I ??? ausserdem weigert sich mein verstand die aussage: dass K 9 elemente haben soll "zu verstehen"!? soweit ich weiß hat jeder körper die "1" und die "0" "in sich" d.h. "1" ist sein eigenes inverses und "0" hat keins. dann wären aber noch 7 (!!!) elemente übrig! das widerspricht sich mit meiner vorstellung das jedes element in einem Körper (ausser 0,1) ein inverses hat!?!? dann müsste es doch eine gerade anzahl an elementen geben??? oder "zählt" da die "1" doppelt also auch als ihr eigenes inverses??? hoffe ihr versteht mein problem, und hoffe das da jemand etwas mehr durchblickt hat als ich...
habe die frage in keinem anderen forum gestellt.
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Hallo tempo,
unsd was, wenn außer der 1 noch irgendein anderes Element ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") zu sich selbst invers ist?
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mo 03.07.2006 | | Autor: | tempo |
hmm... das hatte ich schon "befürchtet" ;)
d.h. (da das einselement eindeutig ist) gibt es ein element (a) das sein eigenes inverses ist aber mit einem anderen element (b) multipliziert, nicht (b) ist? gibts soetwas überhaupt??? (hört sich für mich nach widerspruch zur eindeutigkeit des einselement an?!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hi,
stell dir den Polynomring [mm] $\IZ/3\IZ\left[t\right]/(t^2+1)$ [/mm] so vor: Du nimmst Polynome aus [mm] $\IZ/3\IZ\left[t\right]$ [/mm] (Das sind Polynome mit Koeffizienten $0,1,2$) und ziehst von ihnen so oft [mm] $(x^2+1)$ [/mm] ab, wie es geht ("reduzierst sie modulo [mm] $(x^2+1)$"). [/mm] Was du erhälst, ist ihr Bild in [mm] $\IZ/3\IZ\left[t\right]/(t^2+1)$. [/mm] Die Menge aller solcher Bilder ist [mm] $\{0,1,2,t,t+1,t+2,2t+1,2t+2,t^2\}$, [/mm] und diese Menge hat neun Elemente!
Was die Sache mit der Anschauung angeht: Es gibt viele endliche Körper in denen Elemente ungleich 1 zu sich selbst invers sein können, nimm dir einfach [mm] $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, [/mm] dort ist 2 zu sich selbst invers. Das ist kein Widerspruch zur Eindeutigkeit des Einselementes, denn die Bedingung für das Einselement ist [mm] $a\cdot [/mm] 1=a$ für alle Elemente $a$ aus dem Körper, das hat nichts mit zu-sich-selbst-invers sein zu tun.
Viele Grüße,
Jan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:32 Di 04.07.2006 | | Autor: | tempo |
hi, danke erstmal für die hilfreiche antwort! aber ich denke (nach dem nachrechenen/beweisen) müsste das letzte element nicht [mm] t^{2} [/mm] sondern 2t sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 04.07.2006 | | Autor: | statler |
> hi, danke erstmal für die hilfreiche antwort! aber ich
> denke (nach dem nachrechenen/beweisen) müsste das letzte
> element nicht [mm]t^{2}[/mm] sondern 2t sein, oder?
Hallo Tempo,
deine Bem. ist korrekt.
Hier gibt es übrigens eine längere Übung zu diesem Thema.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 04.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo tempo,
jetzt bin ich verwirrt; warum denn?
Viele Grüße,
Jan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Di 04.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
als Repräsentanten der Restklassen kann man sich ja alle möglichen Reste wählen, die bei Polynomdivision durch [mm] (x^2+1) [/mm] möglich sind - und ein solcher Rest hat ja sicher einen Grad < 2, sonst kann man auf alle Fälle nochmal dividieren.
Am Beispiel [mm] t^2:
[/mm]
[mm]t^2 : (t^2+1) = 1 + \bruch{-1}{t^2+1}[/mm]
d.h. man hat Rest -1, was in diesem Fall ja das gleiche ist wie 2.
Oder anders dargestellt: [mm] t^2 +2(t^2+1) [/mm] = [mm] (1+2)t^2 [/mm] + 2 = 2 (wegen 2+1=0), also liegen [mm] t^2 [/mm] und 2 auf alle Fälle in der gleichen Äquivalenzklasse.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Sa 08.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Natürlich, ich habe mich beim Restklassen-Repräsentantensystem vertan, richtig lautet es: [mm] $\{0,1,2,t,t+1,t+2,2t,2t+1,2t+2\}$.
[/mm]
Gruß,
Jan
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