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Die Seitenlängen a,b,c eines Dreiecks ABC seien ganzzahlig und Teiler seiner Umfangslänge U. Zeigen Sie, Dass dieses Dreieck gleichseitig ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, ich denke ich habe diese Aufgabe gelöst: Hier mein Vorgehen:
Die Behauptung war, dass ganzzahlige Seitenlängen a,b,c eines Dreiecks, Teiler dessen Umfang sind. Dazu werde ich 3 Fälle untersuchen:
1.Fall
Zuerst überprüfen wir die Behauptung a=b=c.
U = 3a, die Behauptung ist bewiesen, da 3a durch a teilbar ist.
Jetzt werde ich untersuchen, ob es noch anders möglich ist, dass die ganzzahligen Seitenlängen eines Dreieck deren Umfang teilen.
2.Fall
Hier untersuchen wir nun ob es mit einem gleichschenkligen Dreieck möglich ist -> a ungleich b und b=c
2.1 Fall a<b
Da a<b gilt kann man b umschreiben in k*a -> U=a(2k+1) , k muss größer 1 sein, da sonst Fall 1 eintreten würde. Man sieht nun, dass a den Umfang teilt, jedoch k*a nicht, da k kein Teiler von (2k+1) ist, denn t*k = 2k+1 -> t = 2+1/k , und laut definition von k, kann t keinen Ganzzahligen Wert annehmen, deshalb ist es auch kein Teiler. Damit ist gezeigt, dass der Fall 2.1 nicht die Voraussetzungen erfüllen kann.
2.2 Fall a>b
Die seite a kann man nun umschreiben als a=k*b, hierbei muss beachtet werden, dass 1<k<2 gelten muss, da sonst kein Dreieck entstehen würde, bzw. Fall1 eintreten würde, daraus ergibt sich der Umfang U=b(k+2)!!
Die Seite a ist diesmal nicht Teiler des umfangs, da k nicht k+2 teilt, laut der Definition von k!!
3. Fall
Jetzt bleibt nur noch ein Fall zu untersuchen, in dem alle drei Seitenlängen unterschiedlich lang sind. Man kann einfach annehmen a<b<c.
Nun stellen wir die Seitenlängen b und c wieder in Abhängigkeit von a dar:
b=k*a
c=(k+j)a , es muss hier gelten 0<j<1, da sonst kein Dreieck mit drei verschiedenen Seitenlängen entstehen würde.
Der Umfang beträgt in diesem Fall U=a(2k+j+1)
Die Seite c muss laut Voraussetzung ganzzahlig sein, doch wenn diese ganzzahlig ist, ist wegen 2k+j der Umgang nicht ganzzahlig, was dann auch nicht der Voraussetzung entspricht.
Somit denke ich habe ich gezeigt, dass die Vorraussetzungen nur in einem gleichseitigen Dreieck erfüllt werden können und die Behauptung ist damit bewiesen, bzw. gezeigt.
Ich hoffe ich hab alles richtig gemacht. mfg
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Hi Zwieback
Ich hab ne Frage zu deiner Antwort.
> 2.Fall
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> Hier untersuchen wir nun ob es mit einem gleichschenkligen
> Dreieck möglich ist -> a ungleich b und b=c
>
> 2.1 Fall a<b
>
> Da a<b gilt kann man b umschreiben in k*a -> U=a(2k+1) , k
> muss größer 1 sein, da sonst Fall 1 eintreten würde. Man
> sieht nun, dass a den Umfang teilt, jedoch k*a nicht, da k
> kein Teiler von (2k+1) ist, denn t*k = 2k+1 -> t = 2+1/k ,
> und laut definition von k, kann t keinen Ganzzahligen Wert
> annehmen, deshalb ist es auch kein Teiler. Damit ist
> gezeigt, dass der Fall 2.1 nicht die Voraussetzungen
> erfüllen kann.
>
Wieso schließt du aus a<b a|b ?
Oder ist bei dir k keine natürliche Zahl, allerdings könnte dann auch t ganzzahlig sein?
Schreib bitte zurück wenn ich irgendeinen Denkfehler hebe, oder was falsch verstanden habe ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") ?
Gruß Samuel
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HI Teletubby, in diesem Fall ist es doch egal ob a|b es muss doch nur geprüft werden ob a|U und b|U und dies hab ich doch gezeigt, dass es nicht funktioniert. Da k>1 gibt es keinen ganzzahligen Wert für t und deshalb ist k auch kein Teiler von 2k+1.
Ich weiss jetzt nicht ob ich deine Frage richtig verstanden habe, ich hoffe mal ja wenn nicht frag einfach noch mal. mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Zwieback
> HI Teletubby, in diesem Fall ist es doch egal ob a|b es
> muss doch nur geprüft werden ob a|U und b|U und dies hab
> ich doch gezeigt, dass es nicht funktioniert. Da k>1 gibt
> es keinen ganzzahligen Wert für t und deshalb ist k auch
> kein Teiler von 2k+1.
Sorry, du hast recht!
Ich hab t=(2+1)/k (t wäre für 1,5 ganzzahlig) verstanden und nicht 2+(1/k), was eigentlich aus dem Zusammenhang klar wird!
Du hast natürlich Recht, ich hätt wohl grundlicher lesen sollen, bevor ich mich beschwer!
Gruß Samuel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich habe auch eine Lösung entdeckt:
Wir betrachten die Seite $a$ des Dreiecks (es ist irrelevant, welche wir nehmen) und teilen sie in zwei Teilstrecken p und q (kennt ihr sicherlich), sodass die Orthogonale am Übergang von p zu q durch A geht. Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras:
[mm] $c^2-p^2=b^2-q^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] (c-b)(c+b)=(p-q)(p+q)$
Wegen $p+q=a$ folgt:
[mm] $\gdw (c-b)(c+b)=(p-q)\cdot [/mm] a$
Es soll gelten: $a|a+b+c$ also auch $a|b+c$. Daher ist [mm] $c+b=k\cdot [/mm] a, [mm] k\in\IN$. [/mm] Es folgt:
[mm] $\gdw (c-b)\cdot k\cdot a=(p-q)\cdot [/mm] a$
Wegen [mm] $a\not= [/mm] 0$ können wir durch $a$ dividieren und erhalten:
$k(c-b)=p-q$
Wenn man jetzt noch zeigen könnte, dass $c-b>p-q$, wär die Sache erledigt. Leider fällt mir hier nichts mehr ein :-(
Gruß,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mo 27.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo Hanno,
leider kann ich deinen Beweis nicht ganz nachvollziehen, wo beweist du denn, dass auch b und c den Umfang teilen, du hast doch bisher nur a betrachtet? Oder hab ich was übersehen?
mfg.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:34 Di 28.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Peter!
Das ist doch vorgegeben!
Gruß,
Hanno
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Hi
Ich will mich jetzt auch noch an einer Lösung versuchen:
[mm]a \ge b \ge c [/mm]
[mm] a | b+c \Rightarrow a \equiv b+c \equiv 0 mod\, a [/mm]
Jetzt ist entwerder [mm]b+c = 2a[/mm] bzw. [mm]a=b=c[/mm] und das Dreieck gleichseitig oder
[mm]b+c=a[/mm], was der Dreiecksungleichung [mm]b+c>a[/mm] wiederspricht
So das war's!
Gruß Samuel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Mo 27.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Elegant, elegant *respekt*
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mo 27.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Ich habe doch noch ne kleine Frage, du schließt aus b+c = 2a, dass das Dreieck gleichseitig sein muss, doch es kann doch auch andere Werte ausser a für b und c geben, damit sie beiden zusammen 2a ergeben oder nicht? Bin ein wenig verwirrt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Zwieback
Ich hab gesagt [mm]a \ge b\ge c [/mm] das heißt, wenn b maximal ist, ist b=a und wenn c maximal ist c=a(=b)
das heißt b+c beträgt maximal 2a genau dann und nur dann, wenn a=b=c gilt!
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Do 14.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Dies war eine Aufgabe der aktuellen Mathematik-Olympiade, ohne jeglichen Hinweis. Wie hier und auch in unseren Forenregeln ausdrücklich erwähnt, führt dies normalerweise zu einem sofortigen Entzug des Accounts.
Ich gebe dir ein paar Tage Zeit zur Erklärung oder Entschuldigung, ansonsten werde ich den Webmaster bitten deinen Account zu löschen.
Viele Grüße
Stefan
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