Beweis der Stetigkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] seien die Funktionen [mm] f_{n}: \IR \to \IR [/mm] deiniert durch [mm] f_{n}(x):= \bruch{nx}{5+|nx|}
[/mm]
Zeige dass alle Funktionen [mm] f_{n} [/mm] stetig sind |
Ich habe mir versucht verschiedene Skizzen zu machen für verschiedene n, die Stetigkeit ist mir auch einigermassen einleuchtend, nur habe ich keine Ahnung wie man Stetigkeit beweisen kann.
Funktionswert = Grenzwert
Leider weiss ich nicht wie ich das anwenden kann, könnte mir hier jemand helfen?
Vielen Dank im Vorraus!
p.s. Ich habe diese Frage auf keine andere Internetseite gestellt.
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> Für n [mm]\in \IN[/mm] seien die Funktionen [mm]f_{n}: \IR \to \IR[/mm]
> deiniert durch [mm]f_{n}(x):= \bruch{nx}{5+|nx|}[/mm]
> Zeige dass
> alle Funktionen [mm]f_{n}[/mm] stetig sind
> Ich habe mir versucht verschiedene Skizzen zu machen für
> verschiedene n, die Stetigkeit ist mir auch einigermassen
> einleuchtend, nur habe ich keine Ahnung wie man Stetigkeit
> beweisen kann.
> Funktionswert = Grenzwert
> Leider weiss ich nicht wie ich das anwenden kann, könnte
> mir hier jemand helfen?
Hallo,
Du kannst Dir die Funktionen ja abschnittweise definiert aufschreiben.
A. Für n=0 hat man [mm] f_0(x):=0. [/mm] Hier erübrigen sich sowieso weitere Überlegungen, denn die Stetigkeit dieser Funktion ist klar.
B. Für n>0 hat man:
[mm] f_n(x):=\begin{cases} \bruch{nx}{5+nx}, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{ } \\ \bruch{nx}{5-nx}, & \mbox{für } x< 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Man sieht, daß es nur eine kritische Stelle gibt, an welcher überhaupt die Stetigkeit infrage steht, die Stelle x=0.
Ist an dieser Stelle [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0) [/mm] ?
Irgendwie ja schon, oder? Man muß es nur beweisen...
Ein bißchen kommt es jetzt darauf an, wie Ihr Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit eingeführt habt.
ICH würde es mit dem [mm] \varepsilon -\delta-Kriterium [/mm] für Stetigkeit (kam es vor?) beweisen:
Du nimmst Dir ein [mm] \varepsilon>0, [/mm] wähltst ein dazu passendes [mm] \delta:= [/mm] ??? (die konkrete Wahl verschieb auf später, wenn Du weißt, was paßt!), betrachtest die x in einer [mm] \delta-Umgebung [/mm] von 0, also die x mit [mm] |x-0|<\delta, [/mm] und zeigst: [mm] |f(x)-f(0)|<\varepsilon.
[/mm]
C. n<0. Analog.
Gruß v. Angela
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