Beweis mit Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | 2) seien A,B aus K^nxn, sodass AB=BA. Dann gilt für l aus N:
[mm] (A+B)^l [/mm] = summe (von i=0 bis l) aller
(l über i * [mm] A^i*B^l-i [/mm]
(hinweis:benutzen sie, dass gilt: (l-1 über i-1)+(l-1 über i) = (l über i)
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das muss doch mit induktion gehen oder? aber wie? und wie wende ich den hinweis an?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Die Aussage gilt für zwei beliebige Elemente [mm] $a,b\in [/mm] R$ eines Ringes $R$, die miteinander kommutieren, für die also $ab=ba$ gilt.
Ein Beweis ohne Induktion benötigt nur einige einfache kombinatorische Überlegungen:
Beim Ausmultiplizieren von [mm] $(a+b)^l=(a+b)(a+b)...(a+b)$ [/mm] wählst du aus den $l$ Klammern stets entweder $a$ oder $b$ aus und erhältst wegen $ab=ba$ stets einen Summanden der Form [mm] $a^i b^{n-i}$. [/mm] Was zu klären ist, ist die Frage, wie oft du beim Ausmultiplizieren für ein festes $i$ aus [mm] $\{0,1,2,...,l\}$ [/mm] den Summanden [mm] $a^i b^{n-i}$ [/mm] erhältst. Um einen solchen Summanden zu erhalten, musst du in $i$ der $l$ Klammern $a$ wählen, in den übrigen $b$. Für die Wahl dieser $i$ Klammern gibt es [mm] $\vektor{l\\ i}$ [/mm] Möglichkeiten. Damit tritt der Summand [mm] $a^i b^{n-i}$ [/mm] genau [mm] $\vektor{l\\ i}$ [/mm] Mal auf und wir erhalten [mm] $(a+b)^l [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{l} \vektor{l\\ i} a^{i} b^{l-i}$.
[/mm]
Nun zum Beweis durch Induktion, den ich nur beginne:
Nehmen wir an, wir haben bereits bewiesen, dass [mm] $(a+b)^l [/mm] = [mm] \sum \vektor{l\\ i} a^i b^{l-i}$. [/mm] Dann ist [mm] $(a+b)^{l+1} [/mm] = [mm] (a+b)^l\cdot (a+b)=\left(\sum_{i=0}^{l} \vektor{l\\ i} a^i b^{l-i}\right)(a+b)=\sum_{i=0}^{l} \vektor{l\\ i} a^{i+1} b^{n-i}+\sum_{i=0}^{l} \vektor{l\\ i} a^i b^{l-i+1}$. [/mm] Nun musst du versuchen, diese Summen zusammenzufassen und den Hinweis anzuwenden. Versuch's mal.
Grüße,
Hanno
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