Beweis mittels vol. Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Mittels vollständiger Induktion beweise man folgende Ungleichung:
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})
[/mm]
wenn die [mm] a_{i} [/mm] reelle Zahlen mit [mm] a_{i} \ge [/mm] -1 und [mm] a_{i}a_{j} \ge [/mm] 0 für alle i,j = 1,2,...,n
Welche Ungleichung erhält man für [mm] a_{1}=a_{2}=...=a_{n} [/mm] |
Meine Rechnung bis jetzt:
I.A.
n=1
[mm] 1+a_{1} \ge 1+a_{1}
[/mm]
n -> n+1
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i}) [/mm] = [mm] (1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) [/mm] =(IV) [mm] (1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))
[/mm]
Jetzt komme ich nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:19 So 21.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MatheDell,
> Mittels vollständiger Induktion beweise man folgende
> Ungleichung:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})[/mm]
>
> wenn die [mm]a_{i}[/mm] reelle Zahlen mit [mm]a_{i} \ge[/mm] -1 und
> [mm]a_{i}a_{j} \ge[/mm] 0 für alle i,j = 1,2,...,n
>
> Welche Ungleichung erhält man für [mm]a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/mm]
> Meine Rechnung bis jetzt:
>
> I.A.
>
> n=1
>
> [mm]1+a_{1} \ge 1+a_{1}[/mm]
>
> n -> n+1
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})[/mm] =
> [mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})[/mm] =(IV)
> [mm](1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))[/mm]
Im letzten Schritt muss es [mm] "$\ge$" [/mm] statt "$=$" heißen. Welche Voraussetzung geht hier ein?
> Jetzt komme ich nicht weiter.
Multipliziere nun aus und verwende dann die Voraussetzung [mm] $a_i*a_j\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $i,j=1,\ldots,n+1$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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[mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})[/mm][mm] \ge(IV)(1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})) [/mm] = [mm] 1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})+a_{n+1}*a_{n+1}\summe_{i=1}^{n}=1+(a_{n+1})+2*
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\ge1+\summe_{i=1}^{n+1}a_{i}=1+a_{n+1}\summe_{i=1}^{n}
[/mm]
Wäre das so bewiesen?
+> Hallo MatheDell,
>
>
> > Mittels vollständiger Induktion beweise man folgende
> > Ungleichung:
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})[/mm]
> >
> > wenn die [mm]a_{i}[/mm] reelle Zahlen mit [mm]a_{i} \ge[/mm] -1 und
> > [mm]a_{i}a_{j} \ge[/mm] 0 für alle i,j = 1,2,...,n
> >
> > Welche Ungleichung erhält man für [mm]a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/mm]
> > Meine Rechnung bis jetzt:
> >
> > I.A.
> >
> > n=1
> >
> > [mm]1+a_{1} \ge 1+a_{1}[/mm]
> >
> > n -> n+1
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})[/mm] =
> > [mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})[/mm] =(IV)
> > [mm](1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))[/mm]
> Im letzten Schritt muss es "[mm]\ge[/mm]" statt "[mm]=[/mm]" heißen. Welche
> Voraussetzung geht hier ein?
>
> > Jetzt komme ich nicht weiter.
> Multipliziere nun aus und verwende dann die Voraussetzung
> [mm]a_i*a_j\ge 0[/mm] für alle [mm]i,j=1,\ldots,n+1[/mm].
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:35 So 21.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Beim ausmultiplizieren ist etwas schief gelaufen bzw. ein * gehört durch ein + ersetzt. Der nächsten Schritt stimmt nicht.
[mm] \prod_{i=1}^{n+1} [/mm] (1+ [mm] a_i) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (1+ [mm] a_i) *(1+a_{n+1}) \ge [/mm] (1+ [mm] \sum_{i=1}^n a_i [/mm] ) [mm] (1+a_{n+1})= [/mm] 1 + [mm] \sum_{i=1}^{n+1} a_i [/mm] + [mm] a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge [/mm] 1 + [mm] \sum_{i=1}^{n+1} a_i
[/mm]
Ist dir bewusst welche Voraussetzung ich beim letzten Ungleichheitszeichen verwende?
> Welche Ungleichung erhält man für $ [mm] a_{1}=a_{2}=...=a_{n} [/mm] $
[mm] a_i= [/mm] s für alle i [mm] \in \{1,..,n\}
[/mm]
Dann erhalte ich für die Ungleichung:
[mm] \overbrace{(1+s)*(1+s)*...(1+s)}^{n-mal} \ge [/mm] 1 [mm] +\overbrace{s+s...+s}^{n-mal}
[/mm]
<=>
..
LG
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> Hallo
> Beim ausmultiplizieren ist etwas schief gelaufen bzw. ein
> * gehört durch ein + ersetzt. Der nächsten Schritt stimmt
> nicht.
>
> [mm]\prod_{i=1}^{n+1}[/mm] (1+ [mm]a_i)[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^n[/mm] (1+ [mm]a_i) *(1+a_{n+1}) \ge[/mm]
> (1+ [mm]\sum_{i=1}^n a_i[/mm] ) [mm](1+a_{n+1})=[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
> + [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
Also hast du [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] zu [mm] \sum_{i=1}^{n+1} [/mm] zusammengefasst.
>
> Ist dir bewusst welche Voraussetzung ich beim letzten
> Ungleichheitszeichen verwende?
>
Da [mm] a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i [/mm] laut Vorraussetzung [mm] (a_{i}*a_{j}\ge0) [/mm] immer grösser als null sind und die anderen Teile des Terms übereinstimmen, sollte die Ungleichung erfüllt sein, oder?
>
> > Welche Ungleichung erhält man für [mm]a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/mm]
> [mm]a_i=[/mm] s für alle i [mm]\in \{1,..,n\}[/mm]
> Dann erhalte ich für
> die Ungleichung:
> [mm]\overbrace{(1+s)*(1+s)*...(1+s)}^{n-mal} \ge[/mm] 1
> [mm]+\overbrace{s+s...+s}^{n-mal}[/mm]
> <=>
[mm] (1+s)^{n} \ge s^{n}
[/mm]
> ..
> LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:16 So 21.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
> > Beim ausmultiplizieren ist etwas schief gelaufen bzw.
> ein
> > * gehört durch ein + ersetzt. Der nächsten Schritt stimmt
> > nicht.
> >
> > [mm]\prod_{i=1}^{n+1}[/mm] (1+ [mm]a_i)[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^n[/mm] (1+ [mm]a_i) *(1+a_{n+1}) \ge[/mm]
> > (1+ [mm]\sum_{i=1}^n a_i[/mm] ) [mm](1+a_{n+1})=[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
> > + [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
>
> Also hast du [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] zu [mm]\sum_{i=1}^{n+1}[/mm]
> zusammengefasst.
Gut erkannt ;)
> >
> > Ist dir bewusst welche Voraussetzung ich beim letzten
> > Ungleichheitszeichen verwende?
> >
> Da [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i[/mm] laut Vorraussetzung
> [mm](a_{i}*a_{j}\ge0)[/mm] immer grösser als null sind und die
> anderen Teile des Terms übereinstimmen, sollte die
> Ungleichung erfüllt sein, oder?
Das erste stimmt aber welche anderen Teile meinst du?
[mm] a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i [/mm] = [mm] \overbrace{a_{n+1} a_1}^{\ge 0} +\overbrace{a_{n+1} a_2}^{\ge 0} +...+\overbrace{a_{n+1} a_n}^{\ge 0} [/mm]
Und damit [mm] a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge [/mm] 0
Ich verwende hier nur das Distributivgesetz und dann die von dir genannte Vorrausetzung.
Und jetzt wünsche ich dir einen schönen Morgen oder eine gute Nacht ;)
Für mich das zweitere ;)
LG
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> Hallo
> > > Beim ausmultiplizieren ist etwas schief gelaufen
> bzw.
> > ein
> > > * gehört durch ein + ersetzt. Der nächsten Schritt stimmt
> > > nicht.
> > >
> > > [mm]\prod_{i=1}^{n+1}[/mm] (1+ [mm]a_i)[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^n[/mm] (1+ [mm]a_i) *(1+a_{n+1}) \ge[/mm]
> > > (1+ [mm]\sum_{i=1}^n a_i[/mm] ) [mm](1+a_{n+1})=[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
> > > + [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
>
> >
> > Also hast du [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] zu [mm]\sum_{i=1}^{n+1}[/mm]
> > zusammengefasst.
> Gut erkannt ;)
> > >
> > > Ist dir bewusst welche Voraussetzung ich beim letzten
> > > Ungleichheitszeichen verwende?
> > >
> > Da [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i[/mm] laut Vorraussetzung
> > [mm](a_{i}*a_{j}\ge0)[/mm] immer grösser als null sind und die
> > anderen Teile des Terms übereinstimmen, sollte die
> > Ungleichung erfüllt sein, oder?
> Das erste stimmt aber welche anderen Teile meinst du?
Ich meine mit den anderen Teilen, dass die beiden 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm] auf beiden Seiten der Ungleichung übereinstimmen
> [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i[/mm] = [mm]\overbrace{a_{n+1} a_1}^{\ge 0} +\overbrace{a_{n+1} a_2}^{\ge 0} +...+\overbrace{a_{n+1} a_n}^{\ge 0}[/mm]
> Und damit [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge[/mm] 0
>
> Ich verwende hier nur das Distributivgesetz und dann die
> von dir genannte Vorrausetzung.
>
> Und jetzt wünsche ich dir einen schönen Morgen oder eine
> gute Nacht ;)
> Für mich das zweitere ;)
> LG
Die Ungleichung [mm] (1+s)^{n} \ge s^{n} [/mm] gilt ja für -1 z.B garnicht mehr oder vertue ich mich gerade?
Gute Nacht und danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:37 So 21.04.2013 | | Autor: | sissile |
Achte darauf, wo du eine Addition und wo du eine Multiplikation hast.
Rechts kommst du so auf keine Potenz.
lg
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[mm] (1+s)^n\ge [/mm] n*s
Das ist doch die Bernoulli-Ungleichung, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:10 So 21.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> [mm](1+s)^n\ge[/mm] n*s
>
> Das ist doch die Bernoulli-Ungleichung, oder?
Wenn du das "1+" auf der rechten Seite nicht vergisst: Ja.
Du hast übrigens innerhalb des Induktionsschrittes die Ungleichung
[mm] $(1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge(IV)(1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))$
[/mm]
noch nicht vollständig begründet. Hier geht die Induktionsvoraussetzung ein und die Voraussetzung... (Aus [mm] $x\ge [/mm] y$ folgt [mm] $z*x\ge [/mm] z*y$ i.A. nur, wenn [mm] $z\ge [/mm] 0$!)
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> > [mm](1+s)^n\ge[/mm] n*s
> >
> > Das ist doch die Bernoulli-Ungleichung, oder?
> Wenn du das "1+" auf der rechten Seite nicht vergisst: Ja.
>
>
> Du hast übrigens innerhalb des Induktionsschrittes die
> Ungleichung
>
> [mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge(IV)(1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))[/mm]
>
> noch nicht vollständig begründet. Hier geht die
> Induktionsvoraussetzung ein und die Voraussetzung... (Aus
> [mm]x\ge y[/mm] folgt [mm]z*x\ge z*y[/mm] i.A. nur, wenn [mm]z\ge 0[/mm]!)
Muss ich das explizit angeben? In der Aufgabenstellung ist ja gesagt, dass [mm] (a_{i}) \ge [/mm] -1 ist und dann ist [mm] 1+(a_{i+1}) \ge [/mm] 0.
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Hallo,
> > Du hast übrigens innerhalb des Induktionsschrittes die
> > Ungleichung
> >
> >
> [mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge(IV)(1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))[/mm]
> >
> > noch nicht vollständig begründet. Hier geht die
> > Induktionsvoraussetzung ein und die Voraussetzung... (Aus
> > [mm]x\ge y[/mm] folgt [mm]z*x\ge z*y[/mm] i.A. nur, wenn [mm]z\ge 0[/mm]!)
>
> Muss ich das explizit angeben? In der Aufgabenstellung ist
> ja gesagt, dass [mm](a_{i}) \ge[/mm] -1 ist und dann ist [mm]1+(a_{i+1}) \ge[/mm]
> 0.
Ja, das muss explizit angegeben werden. Bei jeder Ungleichung, die Du auf beiden Seiten mit einer Konstante multiplizierst, musst Du Dir über das Relationszeichen Gedanken machen.
Außerdem: Ein Beweis ist nur dann gut, wenn deutlich wird, wo die Voraussetzungen eingehen.
Viele Grüße,
Stefan
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