Biegelinie, DGL, Matlab < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:15 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Jassl |
| Aufgabe 1 | a) Bestimmen Sie durch Handrechnung eine Näherung (Linearisierung) der nichtlinearen DGL in (I) für "kleine Durchbiegungen" (y' [mm] \approx [/mm] 0), indem Sie die nichtlineare Funktion g(y')=(1+y'^2)^(3/2) in eine Taylor-Reihe g(y') = g(0) + g'(0)y' + ... entwickeln und nach dem linaren Glied abbrechen. Lösen Sie die sich ergebende DGL ebenfalls durch Handrechnung.
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| Aufgabe 2 | b) Berechnen Sie für M/EI = 0.5 und l=1 die Lösung (II) mit Hilfe des "Boundary Value Problem Solver" (Matlab, bvp4c). Bestimmen Sie hierzu zunächst durch Handrechnung die rechte Seite f(t, y1, y2) in (II).
Stellen Sie die Lösung für die Biegelinie zusammen mit der Lösung des linearisierten Problems aus (a) graphisch dar. Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem für M/EI = 0.6. |
| Aufgabe 3 | | c) Führen Sie eine stochastische Simulation und statistische Analyse des Randwertproblems für 1000 Realisierungen eines normalverteilten Parameters M/EI ~ N(0.5,0.01) durch. Analysieren Sie insbesondere die Mittelwertfunktion m(x) = E[y(x)], x Element [0,l] und das Histogramm für x = 0.5. |
Hallo, ich könnte hier wirklich eure Hilfe bei ein paar Aufgaben gebrauchen, ich komm einfach nicht voran.
Zu a) Das lineare Glied ist nur bis zur ersten Ableitung, oder? Meine Taylor-Reihe sähe so aus: g(y') = g(x0) + ((3/2)*(1+y'^2)^(1/2)*2y')/1!. Wäre das erstmal richtig? Und welches numerische Verfahren kann ich dann am besten für die DGL nutzen?
Zu b) Die Matlab-Lösung mach ich später, erstmal fände ich es toll zu wissen, was überhaupt die rechte Seite ist. Im Unterricht hatten wir irgendwas mit Vektoren, was ich aber nicht verstanden habe:
z' = y1' = y2 =: f1(x,y1,y2),
z'' = y2' = h(x,y1,y2) =: f2(x,y1,y2)
[mm] \vec{f}(x,\vec{y}) [/mm] = [mm] \vektor{f1(x,y1,y2) \\ f2(x,y1,y2)}
[/mm]
[mm] \vec{y'} [/mm] = [mm] \vec{f}(x,\vec{y})
[/mm]
y(0) = [mm] \vec{y}0
[/mm]
Zu c)
Kann mir jemand einen Tipp geben, welche Matlab-Funktion ich dazu nutzen kann? Das ist ja irgendwe soooo riesig. Google hat mich auch auf Simulink gebracht, aber das Ding begreife ich nicht, da sehen die Lösungen doch aus wie Schaltpläne für Radios... oô
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Do 29.05.2008 | | Autor: | grrmpf |
Hallo,
zu a)
also so ganz stimmt das mit der Taylorentwicklung nicht.
[mm] g(y')\approx [/mm] g(0)+y'g'(0) Dies ist die Taylorentwicklung bis zum linearen Glied, soweit hast du schon recht.
[mm] g(y')=(1+y'^{2})^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] g'(y')=\bruch{3}{2}(1+y'^{2})^{\bruch{1}{2}}2y'
[/mm]
Nun die Entwicklungsstelle 0 eingesetzt (ich schreib das jetzt ausführlich auf, da mir das Ergebnis so unsinnig erscheint, und vlt du siehst, ob da ein Fehler drin ist):
[mm] g(0)=(1+0^{2})^{\bruch{3}{2}}=1^{\bruch{3}{2}}=1
[/mm]
[mm] g'(0)=\bruch{3}{2}(1+0^{2})^{\bruch{1}{2}}2*0=\bruch{3}{2}(1)^{\bruch{1}{2}}2*0=0
[/mm]
Sollte dies tatsächlich das korrekte Ergebnis sein, sieht die Taylorentwicklung also so aus:
[mm] g(y')\approx [/mm] 1
Welches Verfahren dafür geeignet ist, weiß ich nicht, da ich nicht weiß, was für eine DGL sich daraus ergeben soll. Dazu müsste ich wahrscheinlich deinen Hefter kennen.
zu b)
Die rechte Seite ist dein f(t,y1,y2). Du hast die DGL's schon richtig aufgeschrieben. Links die erste Ableitung, rechts die Funktion, die von y und x (bzw. t) abhängt. Sieht also z.B. so aus:
y'=y+x
=> y' ist deine linke Seite
=> f(x,y)=y+x ist deine rechte Seite
In deinem Beispiel hast du ein System von DLGs, d.h. du hast mehrere und damit auch mehrere rechte Seiten.
=> [mm] f(y1,y2,t)=(f_{1}(y1,y2,t),f_{2}(y1,y2,t))^{T} [/mm] Deine rechte Seite ist also ein Vektor.
Ich hoffe, ich konnte dir wenigstens ein kleines bisschen helfen, von Matlab hab ich nicht annähernd genug Ahnung, um deine Frage zu beantworten. Wie du die DGL numerisch löst, könnt ich dir wahrscheinlich noch sagen, wenn du die DGL aufschreiben kannst.
Gruß, Susann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Jassl |
Hallo Susann und vielen Dank für deine Mühe. :)
Also ich glaube schon, dass deine Rechnung passt. Mir ist nur irgendwie nicht klar, wie man aus dem Ergebnis "rund 1" eine DGL bekommt.
Du hast Recht, hier steht noch eine gegebene DGL, und zwar die Biegelinie: [mm] y''+\bruch{M}{EI}(1+y'²)^{\bruch{3}{2}} [/mm] = 0. y(0) = y(l) = 0 (Randwerte)
mit dem Elastizitätsmodul E und Flächenträgheitsmoment I. Dann steht da noch: Die Substitution [mm] y_{1}=y, y_{2}=y' [/mm] führt auf ein System von zwei Gleichungen 1. Ordnung
[mm] y_{1}'=y_{2} [/mm]
[mm] y_{2}'=f(t,y_{1},y_{2})
[/mm]
[mm] y_{1}(0)=y_{1}(l)=0
[/mm]
y ist also [mm] y_{1}, [/mm] y' ist [mm] y_{2} [/mm] = [mm] y_{1}'
[/mm]
[mm] y_{2}'=(y')' [/mm] = y'' = [mm] -\bruch{M}{EI}(1+y'²)^{\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{M}{EI}(1+y_{2}²)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \vektor{ y_{1}' \\ y_{2}' } [/mm] = [mm] \vektor{ y_{2} \\ -\bruch{M}{EI}(1+y_{2}²)^{\bruch{3}{2}}} [/mm] = [mm] \vektor{ f_{1} (t, y_{1}, y_{2}) \\ f_{2} (t, y_{1}, y_{2})}
[/mm]
Wäre nett, wenn du dir das noch mal anschauen könntest.
Liebe Grüße, Jassl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Do 12.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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