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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mo 11.08.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei C der Vektorraum aller stetiger Funktionen von [mm] [0,\pi] [/mm] nach [mm] \IR. [/mm]
a) Man gebe eine Bilinearform <,> auf C an, für die sin(x) [mm] \perp [/mm] cos(x).
b) Man gebe eine nicht triviale Lösung für Teilaufgabe a) an. |
Mir ist nicht ganz klar, was hier genau gesucht ist. Bis anhin haben wir in den Übungen Bilinearformen mit Hilfe von Matrizen dargestellt. Dann wäre also eine Matrix A gesucht und die Bilinearform hat die Gestalt [mm] X^{t}AY.
[/mm]
Aber hier ist ja keine Matrix gesucht. Sondern eine Funktion...?
Wie wäre es zum Beispiel mit der konstanten Nullfunktion f := 0 ?
Diese erfüllt ja die Axiome für eine Bilinearform.
Oder habe ich da was ganz falsch verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Mo 11.08.2008 | | Autor: | PeterB |
Eine Bilinearform auf einem [mm] $\mathbb [/mm] R$-Vektoraum $V$ ist eine Abbildung [mm] $B:V\times V\rightarrow \mathbb [/mm] R$ die linear in beiden Variablen ist. Das heißt du mußt jedem Paar von Funktionen eine reele Zahl das "Produkt" zuordnen, so dass
[mm] $B(f_1+f_2,g)=B(f_1,g)+B(f_2,g)$
[/mm]
[mm] $B(f,g_1+g_2)=B(f,g_1)+B(f,g_2)$
[/mm]
$B(rf,g)=rB(f,g)$ und
$B(f,rg)=rB(f,g)$
Für alle Funktionen $f,g$ und Skalare $r$.
Eine Lösung für a) wäre B(f,g):=0 für alle stetigen Funktionen $f,g$. Für Aufgabe b) muss man sich etwas überlegen. Es gibt viele einfache Antwoten, es gibt sogar (berühmte) nicht entartete Bilinearformen mit dieser Eigenschaft. Das heißt Bilinearformen s.d. falls [mm] $f\neq [/mm] 0$ eine stetige Funktion ist es immer [mm] $g_1, g_2$ [/mm] gibt s.d. [mm] $B(f,g_1)\neq [/mm] 0$ und [mm] $B(g_2, f)\neq [/mm] 0$.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mo 11.08.2008 | | Autor: | jokerose |
Ja die Lösung B(f,g) := 0 ist ja wirklich trivial. 
Aber könnte eine nichttriviale Lösung irgendwie in der Art wie sin(x)*cos(x) aussehen? ...und dann natürlich noch was mehr.
Oder bin ich da vollkommen auf dem falschen Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mo 11.08.2008 | | Autor: | PeterB |
Alle Antworten, die ich kenne fangen so an!
Du meinst natürlich $f(x)*g(x)$
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Scheib noch mal ein Integral davor und denk dir die richtigen Grenzen aus.
Beweis, dass es sich um Bilinearform handelt, nicht vergessen!
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