DGL Substitution? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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HI,
Ich finde zu folgender DGL 1. Ordnung einfach keinen Anfang.
Wie soll ich da geeignet substituieren?
xyy' = 1 + y ( y - x³y')
Hat jmd ne Idee?
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Hallo wolverine,
> xyy' = 1 + y ( y - x³y')
ich denke, hier hilft die Trennung der Variablen weiter.
Gruß
MathePower
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Hmmm,
Also so ganz einverstanden bin ich damit noch nicht.
Ich bekomme die Variablen so nicht einfach auseinander! Ich deke mal, ohne eine geeignete Substitution komme icih einfach nicht weiter.
Aber wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Do 16.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Versteh deine Nachfrage nicht!
[mm] \bruch{yy'}{1+y^{2}}=\bruch{1}{x^{3}+x} [/mm] Wenn du llinks nicht direkt f'/f siehst, dann halt die Substitution f=Nenner
Gruss leduart
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oK,
Soweit war das ganze in Ordnung habe es dann auch integriert. Stimmt das aber denn wohl so?
[mm] \bruch{1}{2}*ln(y²+1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*ln(\bruch{x²}{x²+1})+ln(C) [/mm] ; C [mm] \in \IR
[/mm]
Wenn ich das ganze nun ganz normal nach y auflöse dann bekomme ich da eine ewig lange Wurzellösung heraus. Stimmt das denn so?
y = [mm] \pm\wurzel[2]{\bruch{x²}{x²+1}+C-1}
[/mm]
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Hallo wolverine!
> [mm]\bruch{1}{2}*ln(y²+1)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*ln(\bruch{x²}{x²+1})+ln(C)[/mm] ; C [mm]\in \IR[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du - glaube ich - bereits mehrere Umformungsschritte vermischt und durcheinander gebracht ...
Zudem muß gelten: $C \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR^{\red{+}}$ [/mm] , da der ln nur für positive Zahlen definiert ist.
[mm]\bruch{1}{2}*\ln\left(y^2+1\right) \ = \ \ln|x| - \bruch{1}{2}*\ln\left(x^2+1\right)+C_0 \ = \ \ln|x| - \ln\wurzel{x^2+1}+\underbrace{\ln\left(C_1\right)}_{C_1 \ := \ e^{C_0}} \ = \ \ln\left[\bruch{|x|}{\wurzel{x^2+1}}*C_1\right][/mm]
> Wenn ich das ganze nun ganz normal nach y auflöse dann
> bekomme ich da eine ewig lange Wurzellösung heraus. Stimmt
> das denn so?
>
> y = [mm]\pm\wurzel[2]{\bruch{x²}{x²+1}+C-1}[/mm]
Bei mir ergibt sich ein anderer Zusammenhang mit der Integrationskonstante (siehe oben):
[mm]y \ = \ \pm\wurzel{\bruch{\red{k}*x^2}{x^2+1}-1}[/mm] mit $k \ := \ [mm] C_1^2$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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