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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung der folgenden impliziten DGL
[mm] b)y=x(y')^2+(y')^2 [/mm] |
Hallo,
ich bearbeite grade folgende Aufgabe aber ich komme an einer Stelle nicht ganz weiter..
hab so angefangen:
[mm] y=x(y')^2+(y')^2
[/mm]
sei p:=y'
[mm] y(p)=x(p)*p^2+p^2
[/mm]
nach p differenzieren ergibt
[mm] y'(p)=x'(p)p^2+2px(p)+2p
[/mm]
nun wissen wir dass gilt
y'(p)=x'(p)p
das nun in die dgl einsetzen
[mm] x'(p)p=x'(p)p^2+2px(p)+2p
[/mm]
nach x'(p) auflösen
[mm] x'(p)(p-p^2)=2px(p)+2p
[/mm]
[mm] x'(p)=\bruch{2px(p)+2p}{p-p^2}
[/mm]
[mm] x'(p)=\bruch{2x(p)+2}{1-p}
[/mm]
so ist das bis hierhin schonmal richtig?
jetzt müsste ich x'(p) ja eigentlich integrieren aber iwie weiß ich nicht ganz wie ich das hier geschickt anstellen soll...
muss ich hier iwas getrennt betrachten oder so?
lg,
kekschen
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Hallo Kampkekschen,
> Bestimmen Sie die Lösung der folgenden impliziten DGL
> [mm]b)y=x(y')^2+(y')^2[/mm]
> Hallo,
>
> ich bearbeite grade folgende Aufgabe aber ich komme an
> einer Stelle nicht ganz weiter..
> hab so angefangen:
>
> [mm]y=x(y')^2+(y')^2[/mm]
> sei p:=y'
> [mm]y(p)=x(p)*p^2+p^2[/mm]
> nach p differenzieren ergibt
> [mm]y'(p)=x'(p)p^2+2px(p)+2p[/mm]
> nun wissen wir dass gilt
> y'(p)=x'(p)p
> das nun in die dgl einsetzen
> [mm]x'(p)p=x'(p)p^2+2px(p)+2p[/mm]
> nach x'(p) auflösen
> [mm]x'(p)(p-p^2)=2px(p)+2p[/mm]
> [mm]x'(p)=\bruch{2px(p)+2p}{p-p^2}[/mm]
> [mm]x'(p)=\bruch{2x(p)+2}{1-p}[/mm]
> so ist das bis hierhin schonmal richtig?
Ja, bis hierhin alles richtig.
> jetzt müsste ich x'(p) ja eigentlich integrieren aber
> iwie weiß ich nicht ganz wie ich das hier geschickt
> anstellen soll...
> muss ich hier iwas getrennt betrachten oder so?
Die Methode der Trennung der Veränderlichen führt zum Ziel.
>
> lg,
> kekschen
Gruss
MathePower
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Danke schonmal für den Tipp.
alsobin mir nicht sicher ob ich das jetzt richtig getrennt habe :
[mm] x'(p)=\bruch{2x(p)+2}{1-p}
[/mm]
=> [mm] x'(p)=\bruch{2(x(p)+1)}{1-p}
[/mm]
=> [mm] \bruch{x'(p)}{x(p)+1}= \bruch{2}{1-p}
[/mm]
wird das so getrennt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Sa 04.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja.
Jetzt integrieren - Stichwort "ln". Dabei entstehende Konstanten beachten.
Gruss
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sehr gut danke
hab jetzt so integriert:
ln|x(p)+1|=2*ln|p+1|+c
=> x(p)+1=exp(2*ln|p+1|) [mm] *e^c [/mm] wobei d= [mm] e^c
[/mm]
[mm] =>x(p)+1=(p+1)^2*d
[/mm]
[mm] =>x(p)=(p+1)^2*d-1
[/mm]
stimmt das soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Sa 04.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Dir ist bei dem Integrieren auf der rechten Seite ein Fehler untergekommen. Ansonsten ist das weitere Verfahren vollkommen richtig.(wenn du rechts das richtige Integral hättest...)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{1 - p}} [/mm] = (-2)*ln(1-p) + C
Gruss
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das erklärt vllt warum sich bei mir nichts wegkürzen wollte..
so hab jetzt das richtige integral mal ausgerechnet
x(p)= [mm] \bruch{1}{(p-1)^2}*d-1
[/mm]
davon jetzt die ableitung bilden
[mm] x'(p)=\bruch{d'(p)}{(p-1)^2}-\bruch{2d(p)}{(p-1)^3}
[/mm]
nun wieder x'(p) in die DGL einsetzen ergibt
[mm] \bruch{d'(p)}{(p-1)^2}-\bruch{2d(p)}{(p-1)^3}= \bruch{2}{1-p} [/mm] (x(p)+1)
[mm] \bruch{d'(p)}{(p-1)^2}-\bruch{2d(p)}{(p-1)^3}= \bruch{2}{1-p}(\bruch{d}{(p-1)^2}-1+1)
[/mm]
[mm] \bruch{d'(p)}{(p-1)^2}-\bruch{2d(p)}{(p-1)^3}= \bruch{2d(p)}{(p+1)^3}
[/mm]
ich find hier nur blöderweise meinen fehler nicht...
normalerweise würde ja jetzt das d(p) wegfallen aber hier passiert das nicht...sieht vllt jemand was ich falsch gemacht habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 04.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
> das erklärt vllt warum sich bei mir nichts wegkürzen
> wollte..
> so hab jetzt das richtige integral mal ausgerechnet
> x(p)= [mm]\bruch{1}{(p-1)^2}*d-1[/mm]
Ist es nicht (1-p) anstelle von (p-1) ?!? Oder überseh ich da was?
Gruss
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och ne das hab ich echt übersehen!! danke!
so jetzt nochmal...
[mm] x(p)=\bruch{d(p)}{(1-p)^2} [/mm] ableiten
dann komm ich auf
x'(p)= [mm] \bruch{d'(p)}{(1-p)^2}+ \bruch{2d(p)}{(1-p)^3}
[/mm]
also wenn das jetzt schon wieder falsch ist dann geb ich auf ...
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Hallo Kampfkekschen,
> och ne das hab ich echt übersehen!! danke!
> so jetzt nochmal...
>
> [mm]x(p)=\bruch{d(p)}{(1-p)^2}[/mm] ableiten
> dann komm ich auf
> x'(p)= [mm]\bruch{d'(p)}{(1-p)^2}+ \bruch{2d(p)}{(1-p)^3}[/mm]
>
> also wenn das jetzt schon wieder falsch ist dann geb ich
> auf ...
Stimmt. Beachte jetzt, daß d(p) eine Konstante ist.
Gruss
MathePower
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na endlich :)
so hab jetzt x'(p) und x(p) wieder in die DGL [mm] x'(p)=\bruch{2(x(p)+1}{1-p} [/mm] eingesetzt
[mm] \bruch{d'(p)}{(1-p)^2}+ \bruch{2d(p)}{(1-p)^3}= \bruch{2}{1-p}*(\bruch{d(p)}{1-p}-1+1)
[/mm]
[mm] \bruch{d'(p)}{(1-p)^2}+ \bruch{2d(p)}{(1-p)^3}= \bruch{2d(p)}{(1-p)^3}
[/mm]
[mm] \bruch{d'(p)}{(1-p)^2}=0
[/mm]
d'(p)=0
integrieren
d(p)=e also e [mm] \in \IR [/mm] eine konstante
also folge die parameterdarstellung
x(p)= [mm] \bruch{e}{(1-p)^2}-1
[/mm]
[mm] y(p)=xp^2+p^2
[/mm]
ist das jetzt so richtig?
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Hallo Kampfkekschen,
> na endlich :)
> so hab jetzt x'(p) und x(p) wieder in die DGL
> [mm]x'(p)=\bruch{2(x(p)+1}{1-p}[/mm] eingesetzt
> [mm]\bruch{d'(p)}{(1-p)^2}+ \bruch{2d(p)}{(1-p)^3}= \bruch{2}{1-p}*(\bruch{d(p)}{1-p}-1+1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{d'(p)}{(1-p)^2}+ \bruch{2d(p)}{(1-p)^3}= \bruch{2d(p)}{(1-p)^3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d'(p)}{(1-p)^2}=0[/mm]
> d'(p)=0
> integrieren
> d(p)=e also e [mm]\in \IR[/mm] eine konstante
Nun, daß es sich bei d um eine Konstante handelt,
ist schon beim Lösen der DGL klar geworden.
>
> also folge die parameterdarstellung
>
> x(p)= [mm]\bruch{e}{(1-p)^2}-1[/mm]
> [mm]y(p)=xp^2+p^2[/mm]
>
> ist das jetzt so richtig?
Nicht ganz.
Um eine Parameterdarstellung für y zu erhalten
ist jetzt noch die Parameterdarstellung von x in
[mm]y(p)=xp^2+p^2[/mm]
einzusetzen.
Gruss
MathePower
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okay gut zu wissen
hab jetzt also x(p) in y(p) eingesetzt :
y(p)= [mm] (\bruch{e}{(1-p)^2}-1)*p^2+p^2
[/mm]
--> y(p)= [mm] \bruch{e*p^2}{(1-p)^2}-p^2+p^2
[/mm]
also [mm] y(p)=\bruch{e*p^2}{(1-p)^2}
[/mm]
war das so gemeint?
ist das die einzige lösung der dgl oder hab ich da jetzt noch welche vergessen?
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Hallo Kampfkekschen,
> okay gut zu wissen
>
> hab jetzt also x(p) in y(p) eingesetzt :
> y(p)= [mm](\bruch{e}{(1-p)^2}-1)*p^2+p^2[/mm]
> --> y(p)= [mm]\bruch{e*p^2}{(1-p)^2}-p^2+p^2[/mm]
> also [mm]y(p)=\bruch{e*p^2}{(1-p)^2}[/mm]
>
> war das so gemeint?
Ja.
> ist das die einzige lösung der dgl oder hab ich da jetzt
> noch welche vergessen?
Die Parameterdarstellung deckt die Fälle ab, für die [mm]p \not= 1[/mm].
Eine Lösung ist natürlich auch für p=1 möglich.
Gruss
MathePower
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Wollte mich mal für die super hilfe bedanken! :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Sa 04.12.2010 | | Autor: | mgh89 |
Löst man DGL nicht mit Polynom als Ansatz? Für mich sieht das so aus, als ob es durch das Umformen eher komplizierter wird.
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Hallo mgh89,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ANMERKUNG
> Löst man DGL nicht mit Polynom als Ansatz? Für mich
> sieht das so aus, als ob es durch das Umformen eher
> komplizierter wird.
Sicher kannst Du diese DGL mit dem Potenzreihenansatz
[mm]y\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}{a_{k}*x^{k}}[/mm]
lösen.
Gruss
MathePower
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