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Hallo liebe Leser.
Ich habe eine Frage bzgl. der Darstellungsmatrizen.
Wahrscheinlich ist es eine ziemlich einfache Frage, aber ich bin momentan ein wenig verwirrt..
Also, man hat irgendeine lineare Abbildung gegeben. Nun gibt es Fälle, in denen man die darstellende Matrix einfach aus der Abbildungsvorschrift ablesen kann und natürlich Fälle, in denen verschiedene Basen vom Definitionsraum und Bildraum auftreten. Wie das "Rezept" ist, um die Darstellungsmatrizen auszurechnen, weiß ich.
Mir fällt nur nicht auf, wann ich jetzt genau die Matrix einfach ablesen kann, und wann ich speziell die verschiedenen Basen beachten muss...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Liebe Grüße,
euer Roughi
Edit: Achso, eine weitere Frage noch. Es gibt nun meist unendlich viele Basen in den jeweiligen Räumen. Manchmal nutzt man einfach die Identität einer Abbildung um weiter zu kommen, wann genau nutzt man die Identität?
Edit 2: Ich habe mal eine Aufgabe gefunden, die mein Problem beschreibt:
Man hat irgendeine Lineare Abbildung und zwei verschiedene Basen.
T: V --> W
a) Bestimme M ( T; [mm] B_V,B_W).
[/mm]
Hier wende ich die Einheitsbasis auf die Basisvektoren von [mm] B_V [/mm] an und stelle dieses Bild als Linearkombination (LK) der Basisvektoren von [mm] B_W [/mm] dar. Jetzt lese ich aus dieser LK einfach die, ich nenn es mal so, Spaltenvektoren der Matrix ab. Fertig.
b) Bestimme die Basiswechselmatrix von [mm] B_W [/mm] nach [mm] B_V
[/mm]
Hier muss ich M(Id; [mm] B_W, B_V) [/mm] bestimmen.
Ich wende jeweils die Identität auf die Basisvektoren von [mm] B_W [/mm] an und stelle diese dann als LK der Basisvektoren von [mm] B_V [/mm] dar.
Nun sind aus dieser LK die Spaltenvektoren der LK die Zeilenvektoren der darstellenden Matrix. Oder eben die Spaltenvektoren der LK transponiert sind die Spaltenvektoren der Matrix. Fertig.
c) Bestimme M(T; [mm] B_W, B_W)
[/mm]
Hier jetzt einfach [mm] M(T,B_V, B_W) [/mm] im MMP multipliziert mit M(Id; [mm] B_W,B_V) [/mm] und ich habe meine gewünschte Matrix.
Richtig soweit?
Jetzt meine Frage, wenn ich die Matrix M (T; [mm] B_V,B_V) [/mm] berechnen wollen würde, was mache ich dann?
M (Id; [mm] B_V, B_W) [/mm] und analoges Vorgehen wie in Teil b? Wobei für mich wahrscheinlich wäre einfach wie in c) nur anders herum:
[mm] M(Id,B_W, B_V) [/mm] im MMP multipliziert mit [mm] M(B_V,B_W)
[/mm]
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> Hallo liebe Leser.
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> Ich habe eine Frage bzgl. der Darstellungsmatrizen.
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> Wahrscheinlich ist es eine ziemlich einfache Frage, aber
> ich bin momentan ein wenig verwirrt..
Hallo,
ich versuche, erste Antworten zu geben, doch ich denke, Du mußt noch konkreter werden.
>
> Also, man hat irgendeine lineare Abbildung gegeben. Nun
> gibt es Fälle, in denen man die darstellende Matrix
> einfach aus der Abbildungsvorschrift ablesen kann und
> natürlich Fälle, in denen verschiedene Basen vom
> Definitionsraum und Bildraum auftreten. Wie das "Rezept"
> ist, um die Darstellungsmatrizen auszurechnen, weiß ich.
> Mir fällt nur nicht auf, wann ich jetzt genau die Matrix
> einfach ablesen kann, und wann ich speziell die
> verschiedenen Basen beachten muss...
Irgendeine lineare Abbildung: das ist vage...
Von welchen Vektorräumen redest Du?
Von Abbildungen aus dem [mm] \IR^m [/mm] in den [mm] \IR^n?
[/mm]
Die Darstellungsmatrix aus der Abbildungsvorschrift sofort ablesen kannst Du, wenn Du die Abbildungsvorschrift einer linearen Abbildung aus dem [mm] \IR^m [/mm] in den [mm] \IR^n [/mm] "ganz normal", also etwa [mm] f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{y\\x+y+z}, [/mm] gegeben hast und die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasen gefragt ist oder einfach die "Darstellungsmatrix".
> Edit: Achso, eine weitere Frage noch. Es gibt nun meist
> unendlich viele Basen in den jeweiligen Räumen. Manchmal
> nutzt man einfach die Identität einer Abbildung um weiter
> zu kommen, wann genau nutzt man die Identität?
Du sprichst in Rätseln...
Was meinst Du mit "Identität einer Abbildung"?
Die identische Abbildung verwendet man, wenn man die Darstellungsmatrix z.B. bzgl der Basen A und B gegeben hat, aber die Darstellungsmatrix bzgl der Basen C und D gefragt ist. Es ist dann
[mm] _DM(f)_C=_DM(id)_B*_BM(f)_A*_AM(id)_C,
[/mm]
[mm] _YM(g)_X [/mm] steht hier für die Darstellungsmatrix von g bzgl der Basen X im Start- und Y im Zielraum.
Die äußeren Matrizen, die id-Matrizen, sind die, die die Aufgabe haben, Vektoren, die bzgl der rechten Basis gegeben sind, in solche bzgl der linken zu verwandeln.
> Edit 2: Ich habe mal eine Aufgabe gefunden, die mein
> Problem beschreibt:
>
> Man hat irgendeine Lineare Abbildung und zwei verschiedene
> Basen.
> T: V --> W
>
> a) Bestimme M ( T; [mm]B_V,B_W).[/mm]
So, nun wird's mir zu bunt!
Gib jetzt mal konkret eine Aufgabe an, die Du bearbeiten möchtest.
"Irgendeine lineare Abbildung" - da kann sich allerlei hinter verbergen.
Du sagst jetzt mal die Abbildung, um die es geht, gibst brav die beiden Basen an.
(Die Schreibweise [mm] M(F;B_V;B_W) [/mm] verstehe ich zum Glück, in meiner Schreiweise ist das [mm] _{B_W}M(F)_{B_V}.)
[/mm]
Und wenn Du die Aufgabe schön aufgeschrieben hast, dann löst Du sie schön ausführlich, und jemand sagt Dir anschließend, ob Du es richtig oder falsch gemacht hast. Oder Du illustrierst Deine Rechengeschichte unten mit den konkreten Rechnungen Deiner Aufgabe.
Die allgemeine Rechengeschichte ist mir zu anstrengend, die Gefahr von Mißverständnissen zu groß - und sie bringt nicht mehr als ein vernünftig bearbeitetes Beispiel.
LG Angela
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> Hier wende ich die Einheitsbasis auf die Basisvektoren von
> [mm]B_V[/mm] an und stelle dieses Bild als Linearkombination (LK)
> der Basisvektoren von [mm]B_W[/mm] dar. Jetzt lese ich aus dieser LK
> einfach die, ich nenn es mal so, Spaltenvektoren der Matrix
> ab. Fertig.
>
> b) Bestimme die Basiswechselmatrix von [mm]B_W[/mm] nach [mm]B_V[/mm]
>
> Hier muss ich M(Id; [mm]B_W, B_V)[/mm] bestimmen.
> Ich wende jeweils die Identität auf die Basisvektoren von
> [mm]B_W[/mm] an und stelle diese dann als LK der Basisvektoren von
> [mm]B_V[/mm] dar.
> Nun sind aus dieser LK die Spaltenvektoren der LK die
> Zeilenvektoren der darstellenden Matrix. Oder eben die
> Spaltenvektoren der LK transponiert sind die
> Spaltenvektoren der Matrix. Fertig.
>
> c) Bestimme M(T; [mm]B_W, B_W)[/mm]
>
> Hier jetzt einfach [mm]M(T,B_V, B_W)[/mm] im MMP multipliziert mit
> M(Id; [mm]B_W,B_V)[/mm] und ich habe meine gewünschte Matrix.
>
> Richtig soweit?
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> Jetzt meine Frage, wenn ich die Matrix M (T; [mm]B_V,B_V)[/mm]
> berechnen wollen würde, was mache ich dann?
> M (Id; [mm]B_V, B_W)[/mm] und analoges Vorgehen wie in Teil b?
> Wobei für mich wahrscheinlich wäre einfach wie in c) nur
> anders herum:
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> [mm]M(Id,B_W, B_V)[/mm] im MMP multipliziert mit [mm]M(B_V,B_W)[/mm]
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