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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Di 07.06.2005 | | Autor: | Johann.S |
Hallo, vielleicht könnt ihr mir helfen, bin neulich beim lernen auf etwas gestoßen was ich nicht ganz verstehe.
Also wenn ich ein inhomogenes Gleichungssystem habe muß die Koeffizienten Determinante ungleich null sein, damit es eine Lösung gibt, richtig?
Bei einem homogenen system muß sie null sein, oder?
Wenn sie aber null ist, ist eine Zeile der Matrix ( eine Gleichung) linear abhängig von einer anderen oder nicht?
Wenn jetzt eine Zeile linear von den anderen abhängt, wie kann denn dann ein homogenes Gleichungssystem eineindeutig lösbar sein, in dem es n Unbekannte aber nur n-1 linerunabhängige Gleichungen gibt?
Hab ich mir was falsch gemerkt oder verstehe ich da etwas nicht?
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Hallo,
> Also wenn ich ein inhomogenes Gleichungssystem habe muß die
> Koeffizienten Determinante ungleich null sein, damit es
> eine Lösung gibt, richtig?
Ist die Determinante ungleich null, so gibt es eine eindeutige Lösung.
Das gilt sowohl für homogene als auch inhomogene Systeme.
>
> Bei einem homogenen system muß sie null sein, oder?
Nein.
>
> Wenn sie aber null ist, ist eine Zeile der Matrix ( eine
> Gleichung) linear abhängig von einer anderen oder nicht?
Eine oder mehrere Zeilen sind dann linear abhängig.
> Wenn jetzt eine Zeile linear von den anderen abhängt, wie
> kann denn dann ein homogenes Gleichungssystem eineindeutig
> lösbar sein, in dem es n Unbekannte aber nur n-1
> linerunabhängige Gleichungen gibt?
Das System ist dann nicht eineindeutig lösbar. Das System ist höchstens mehrdeutig lösbar.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 07.06.2005 | | Autor: | Johann.S |
In Meyers kleinen Enzykloädie der Mathematik steht folgendes
(Grund für diesen Thread, hat mich wohl auf die falsche Färthe gebracht):
"Ein homogenes lineares Gleichungssytemvmit ebensoviel Gleichungen wie Unbekannten hat genau dann nichttriviale Lösung, wenn die Determinante der Koeffizienten verschwindet."
Das hab ich nun so verstanden,dass es eine Lösung gibt, wenn die Det. null ist. Ist das GlS denn aufjeden Fall lösbar, wenn die Det. null ist (ob mehr oder eindeutig sei dahin gestellt)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Johann!
Bleiben wir der Einfachheit halber einmal bei einem homogenen Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen und $n$ Unbekannten.
Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich $0$ ist, dann wird das homogene LGS nur durch [mm] $(0,0,0,\ldots,0)$ [/mm] gelöst (und der Nullvektor ist ja immer eine Lösung eines homogenen Systems (!), d.h. weniger geht nicht).
Wenn die Determinante gleich $0$ ist, dann gibt es noch mehr Lösungen. Die Dimension des Lösungsraumes ist
$n-r$,
wobei $r$ der Rang der Matrix, also die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren, ist.
Viele Grüße
Julius
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