Diagonalmatrix < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Di 22.05.2018 | | Autor: | Max34 |
| Aufgabe | Hallo,
ich komme einfach nicht weiter. Es ist zu zeigen:
A [mm] \in \mathbb C^{n \times n} [/mm] ist normal, wenn es eine Matrix B [mm] \in [/mm] U(n) gibt s.d. [mm] B^{-1}AB
[/mm]
eine (komplexe) Diagonalmatrix ist. |
Kann mir da jmd einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:17 Di 22.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich komme einfach nicht weiter. Es ist zu zeigen:
> A [mm]\in \mathbb C^{n \times n}[/mm] ist normal, wenn es eine
> Matrix B [mm]\in[/mm] U(n) gibt s.d. [mm]B^{-1}AB[/mm]
> eine (komplexe) Diagonalmatrix ist.
> Kann mir da jmd einen Tipp geben?
Ich nehme an, dass mit U(n) die Menge der unitären komplexen n [mm] \times [/mm] n - Matrizen gemeint ist.
Wir haben also [mm] D:=B^{-1}AB [/mm] ist eine komplexe Diagonalmatrix.
Dan ist [mm] $A=BDB^{-1}=BAB^{\star}$
[/mm]
Damit berechnest Du nun [mm] A^{\star} [/mm] und die Produkte [mm] AA^{\star} [/mm] und [mm] A^{\star}A.
[/mm]
Dann solltest Du sehen, dass A normal ist,wenn gilt [mm] DD^{\star} [/mm] und [mm] D^{\star}D.
[/mm]
Das ist aber der Fall ! Warum ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Di 22.05.2018 | | Autor: | Max34 |
| Aufgabe | Ja mit U(n) ist die Menge der unitären komplexen n $ [mm] \times [/mm] $ n - Matrizen gemeint.
Also wenn ich jetzt habe [mm] A=BDB^{-1} [/mm] = BDB*.
Dann wäre doch A* = (BDB*)* = B D* B*
A= BDB*
Dann ist AA*= (BDB*)(B D* B*)=BD E D*B wegen B*B=E
A*A= (BD*B*)(BDB*)=BD*DB* |
Jetzt fehlt mir nur noch das Wissen, warum DD*=D*D ist.
Aber ist nicht nach dem Spektralsatz D eine relle Diagonalmatrix?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Di 22.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ja mit U(n) ist die Menge der unitären komplexen n [mm]\times[/mm]
> n - Matrizen gemeint.
> Also wenn ich jetzt habe [mm]A=BDB^{-1}[/mm] = BDB*.
> Dann wäre doch A* = (BDB*)* = B D* B*
> A= BDB*
>
> Dann ist AA*= (BDB*)(B D* B*)=BD E D*B wegen B*B=E
Ja, also AA*= B DD*B
> A*A= (BD*B*)(BDB*)=BD*DB*
> Jetzt fehlt mir nur noch das Wissen, warum DD*=D*D ist.
> Aber ist nicht nach dem Spektralsatz D eine relle
> Diagonalmatrix?
Nein, nach Vor. ist doch D eine komplexe Diagonlamatrix, etwa
[mm] D=diag(d_1,...,d_n) [/mm] mit [mm] $d_j \in \mathbb [/mm] C$.
Dann ist [mm] D^{\star}= diag(\overline{d_1},...,\overline{d_n}), [/mm] also
[mm] DD^{\star}= diag(|d_1|^2,...., |d_n|^2)=D^{\star}D,
[/mm]
beachte hierbei , dass für komplexes z gilt: [mm] \overline{z}z=|z|^2=z\overline{z}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Di 22.05.2018 | | Autor: | Max34 |
| Aufgabe | Ja dann hast du ja schon die Antwort gegeben, warum DD*=DD*
Ich hätte nur gedacht, dass eine Diagonalmatrix immer reell ist nach dem Spektralsatz unter den Vorraussetzungen? |
Wo ist denn da mein Denkfehler?
Warum kann dann egtl die Umkehrung dieses Satzes nicht gelten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Di 22.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ja dann hast du ja schon die Antwort gegeben, warum
> DD*=DD*
So ist es.
> Ich hätte nur gedacht, dass eine Diagonalmatrix immer
> reell ist nach dem Spektralsatz unter den
> Vorraussetzungen?
Wenn D reell ist, so ist A nicht nur normal, sondern auch noch symmetrisch.
> Wo ist denn da mein Denkfehler?
> Warum kann dann egtl die Umkehrung dieses Satzes nicht
> gelten?
Die Umkehrung gilt doch: A ist genau dann normal, wenn A unitär diagonalisierbar ist.
Du hattest zu zeigen: A unitär diagonalisierbar [mm] \Rightarrow [/mm] A normal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:36 Di 22.05.2018 | | Autor: | Max34 |
| Aufgabe | Achso. D.h ich hatte eine Voraussetzung nicht für den Spektralsatz.
Dankeschön:) |
Laut Aufgabenstellung sollte die Umkehrung nicht gelten:
Warum gilt die Umkehrung von (iii)? (Tipp: sind komplexe Diagonalmatrizen normal?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Di 22.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Achso. D.h ich hatte eine Voraussetzung nicht für den
> Spektralsatz.
> Dankeschön:)
> Laut Aufgabenstellung sollte die Umkehrung nicht gelten:
Wer sagt das ???
> Warum gilt die Umkehrung von (iii)? (Tipp: sind komplexe
> Diagonalmatrizen normal?)
Ja, Diagonalmatrizen sind normal, das hab ich Dir in meiner zweiten Antwort vorgemacht !
Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Normale_Matrix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Di 22.05.2018 | | Autor: | Max34 |
| Aufgabe | Es tut mir leid. Ich habe die ganze Zeit gelesen, dass die Umkehrung nicht gelten soll gelesen, aber das steht ja nicht mal da :)
Sorry.
Jetzt ist es klar:) |
Ich habe folgendes gezeigt:
Fürr A [mm] \in C^{n \times n} [/mm] und B [mm] \in [/mm] U(n) ist A genau dann normal, wenn [mm] \bar{B^T}AB [/mm] normal ist.
Warum folgt dann
, dass die Matrix eines Endomorphismus eines unitären Vektorraumes
bzgl. jeder ONB normal ist, wenn dies bzgl. irgendeiner ONB gilt?
Sei A die Matrix eines Endo, dann gibt es eine Diagonalmatrix D und ein B [mm] \in [/mm] U(n) mit B* A B=D
Aber auch D*=B*A*B
Da gilt AA*=A*A gilt auch B*A*B=B*AB, d.h A ist bzgl jeder ONB normal, da A beliebig gewählt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Di 22.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Es tut mir leid. Ich habe die ganze Zeit gelesen, dass die
> Umkehrung nicht gelten soll gelesen, aber das steht ja
> nicht mal da :)
> Sorry.
> Jetzt ist es klar:)
> Ich habe folgendes gezeigt:
> Fürr A [mm]\in C^{n \times n}[/mm] und B [mm]\in[/mm] U(n) ist A genau
> dann normal, wenn [mm]\bar{B^T}AB[/mm] normal ist.
> Warum folgt dann
> , dass die Matrix eines Endomorphismus eines unitären
> Vektorraumes
> bzgl. jeder ONB normal ist, wenn dies bzgl. irgendeiner
> ONB gilt?
Das liegt daran, dass die Basiswechselmatrix zwischen zwei Orthonormalbasen unitär ist.
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> Sei A die Matrix eines Endo, dann gibt es eine
> Diagonalmatrix D und ein B [mm]\in[/mm] U(n) mit B* A B=D
Das gilt nur, wenn A normal ist.
> Aber auch D*=B*A*B
> Da gilt AA*=A*A gilt auch B*A*B=B*AB,
Das letzte ist aber i.a. falsch, denn aus B*A*B=B*AB folgt, da B invertierbar ist, [mm] A^{\star}=A. [/mm] Für normale und nicht symmetrische Matrizen ist B*A*B=B*AB also falsch.
d.h A ist bzgl jeder
> ONB normal, da A beliebig gewählt?
Hä ? A beliebig gewählt ? Was meinst Du damit ?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:00 Di 22.05.2018 | | Autor: | Max34 |
| Aufgabe | Du hast geschrieben als Antwort auf meine Frage:
Das liegt daran, dass die Basiswechselmatrix zwischen zwei Orthonormalbasen unitär ist. |
Wenn A normal bzgl irgendeiner ONB ist, was bedeutet das genau?
Es ist schon klar, dass A*A=AA* gilt, aber was heißt das im Bezug auf ONB?
Wenn die Basiswechselmatrix unitär ist, heißt das ja dass dann B*AB normal bzgl ONB ist, da das ja aus i folgt A normal dann auch B*AB.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Do 24.05.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Di 22.05.2018 | | Autor: | Max34 |
| Aufgabe | | Ok dann ist es falsch. |
Wie könnte ich es denn richtig formulieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Di 22.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ok dann ist es falsch.
> Wie könnte ich es denn richtig formulieren?
Jetzt komm ich nicht mehr mit. Was willst Du formulieren ?
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