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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:43 Sa 11.02.2006 | | Autor: | kunzm |
| Aufgabe | A1 Lineare homogene Differentialgleichung
Bestimme ein reelles Fundamentalsystem sowie die Lösung von:
[mm] $y'(t)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\2&1&-2\\3&2&1\end{matrix}\right)\,y(t)\,,\,\, y(0)=\left(\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right)$ [/mm] |
Hallo,
ich habe bisher folgendes versucht, bin mir aber wie gesagt nicht sicher was das mit dem Fundamentalsystem auf sich hat:
Zunächst kann man Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix bestimmen:
[mm] $\det(A-\lambda [/mm] E)= [mm] \det\left(\begin{matrix}1-\lambda&0&0\\2&1-\lambda&-2\\3&2&1-\lambda\end{matrix}\right)=(1-\lambda)\left((1-\lambda)^2+4\right)$
[/mm]
Man sieht direkt die erste Nullstelle des char. Polynoms [mm] $\lambda_1=1$. [/mm] Die weiteren Nullstellen folgen aus [mm] $(1-\lambda)^2+4:=0$ [/mm] zu [mm] $\lambda_2=1+2i$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=1-2i$. [/mm] Die zugehörigen Eigenvektoren ergeben sich aus
[mm] $\left(\begin{matrix}1-\lambda_i&0&0\\2&1-\lambda_i&-2\\3&2&1-\lambda_i\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_{i1}\\v_{i2}\\v_{i3}\end{matrix}\right)=0$
[/mm]
zu
[mm] $V_1=(2,-3,2)$,
[/mm]
[mm] $V_2=(0,1,-i)$,
[/mm]
[mm] $V_3=(0,1,i)$.
[/mm]
Es gilt o.B.d.A:
[mm] $AV_1=\lambda_1 V_1$
[/mm]
[mm] $\left(e^{\lambda_1 t}V_1\right)'=\lambda e^{\lambda_1 t}V_1$
[/mm]
[mm] $A\left(e^{\lambda_1 t}V_1\right)=e^{\lambda_1 t}A V_1=\lambda e^{\lambda_1 t}V_1$.
[/mm]
Daher ist:
[mm] $\left(e^{\lambda_1 t}V_1\right)'=A\left(e^{\lambda_1 t}V_1\right)$,
[/mm]
beziehungsweise [mm] $e^{\lambda_1 t}V_1$ [/mm] löst die Differentialgleichung. Existiert wie ein diesem Beispiel ein mehrdimensionales Eigensystem, so ist die Linearkombination der Eigenwerte bzw. -Vektoren auch eine Lösung des Gleichungssystems von der allgemeinen Form:
[mm] $y(t)=c_1V_1e^{\lambda_1 t}+c_2V_2e^{\lambda_2 t}+c_3V_3e^{\lambda_3 t}$
[/mm]
beziehungsweise
[mm] $y_1(t)= c_1 2e^t$
[/mm]
[mm] $y_2(t)=c_1 3e^t+c_2e^{(1+2i)t}-c_3 ie^{(1-2i)t}$
[/mm]
[mm] $y_3(t)=c_1 2e^t-c_2e^{(1+2i)t}+c_3 ie^{(1-2i)t}$
[/mm]
Is dieses jetzt so ein gewünschtes Fundamentalsystem? Un wenn ja, bekomme ich das reell indem ich das Betragsquadtrat der Gleichung bilde und dann quasi nach $y(x)$ "auflöse"?
Bitte um einen Kommentar, Danke und Grüße, Martin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Di 14.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Martin!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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