Dimension Lösungsraum < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich hätte eine Frage zur Ermittlung der Dimension des Lösungsraumes eines linearen nichtautonomen Systems, wobei $a(t)$ und $b(t)$ beliebige differenzierbare Funktionen seien.
$x''=a(t)y'$
$y''=b(t)x$
Auf den ersten Blick ist der Lösungsraum evtl. vierdimensional, da die Funktionen $x$ und $y$ durch ihre zweite Ableitung beschrieben werden.
Andererseits denke ich mir: Die DGL
[mm] x'''=a'(t)y'+a(t)y''=\frac{a'(t)}{a(t)}x''+a(t)b(t)x
[/mm]
hat einen dreidimensionalen Lösungsraum und $y$ wird durch $x$ festgelegt. Das heißt, der Lösungsraum des Systems wäre 3.
Gleiches ergibt sich durch Einführung weiterer Funktionen:
$x'=u$
$u'=a(t)z$
$z'=b(t)x,$
wobei dann [mm] $y(t)=\int [/mm] z$ wäre.
Was stimmt nun?
Gruß, Harris
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> Hi!
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> Ich hätte eine Frage zur Ermittlung der Dimension des
> Lösungsraumes eines linearen nichtautonomen Systems, wobei
> [mm]a(t)[/mm] und [mm]b(t)[/mm] beliebige differenzierbare Funktionen seien.
>
> [mm]x''=a(t)y'[/mm]
> [mm]y''=b(t)x[/mm]
>
> Auf den ersten Blick ist der Lösungsraum evtl.
> vierdimensional, da die Funktionen [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] durch ihre
> zweite Ableitung beschrieben werden.
Ich denke, die Unklarheit kommt daher dass y nicht ohne Ableitung auftritt.
>
> Andererseits denke ich mir: Die DGL
> [mm]x'''=a'(t)y'+a(t)y''=\frac{a'(t)}{a(t)}x''+a(t)b(t)x[/mm]
> hat einen dreidimensionalen Lösungsraum und [mm]y[/mm] wird durch
> [mm]x[/mm] festgelegt. Das heißt, der Lösungsraum des Systems
> wäre 3.
Es wird y' durch x festgelgt, für y gibt es einen zusätzlichen Freiheitsgrad (siehe unten).
>
> Gleiches ergibt sich durch Einführung weiterer
> Funktionen:
> [mm]x'=u[/mm]
> [mm]u'=a(t)z[/mm]
> [mm]z'=b(t)x,[/mm]
das gibt einen dreidimensionalen Lösungsraum.
> wobei dann [mm]y(t)=\int z[/mm] wäre.
Und dabei kommt eine Integrationskonstante ins Spiel, d.h. du erhältst zusätzliche Lösungen der Form (x,y)=(0,c), die die vierte Dimension liefern.
>
> Was stimmt nun?
>
> Gruß, Harris
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