Ebene durch Punkt und Gerade < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 So 20.01.2008 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | | Stellen Sie die Koordinatengleichung der Normalebene durch P(-6,10,16) zur Geraden g: [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{6 \\ 4 \\ 0}+t*\vektor{-8 \\ 4 \\ 8} [/mm] auf. |
Hallo Leute
Ich habe auch schon eine Lösung für die Aufgabe, leider stimmt Sie nicht mit der Musterlösung überrein. So bin ich nun überzeugt, die Musterlösung ist falsch 
Könnt ihr mir das bestätigen?
Mein Lösungsvorschlag:
Parameterform der Ebene:
E = [mm] \vektor{-6 \\ 10 \\ 16}+r*\vektor{12 \\ -6 \\ -16}+s*\vektor{-8 \\ 4 \\ 8}
[/mm]
den Richtungsvektor der Ebene [mm] \vektor{12 \\ -6 \\ -16} [/mm] habe ich erhalten, indem ich den Stützpunkt der Gerade minus Ortsvektor des gegebenen Punktes gerechnet habe.
Nun stelle ich für die Ebene ein Gleichungssystem auf:
x = 12r-8s-6
y = -6r+4s+10
z = -16r+8s+16
Nun eliminiere ich in drei Schritten das r und das s und erhalte dann:
x+2y = 16 (Mehrmals durchgerechnet, im Lösen des LGS dürfte nicht der Fehler liegen.)
Die Musterlösung meint aber: 2x -y -2z + 54 = 0
Könnt ihr mir sagen, wo mein(e) Fehler liegt/liegen? Oder kommt ihr auch auf meine Lösung? Stimmt das Vorgehen für diesen Aufgabentyp dann grundsätzlich?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 So 20.01.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Stefan,
was verstehst du unter einer "Normalebene". Meines Meinung nach,
wird hier eine Ebene gesucht, die senkrecht auf der Geraden steht.
Und durch den Punkt P geht.
Wie man da am besten vorgeht, weiß ich auch gerade nicht.
Was klappen würde wäre folgendes:
[mm] \vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3}*\vektor{-8 \\ 4 \\ 8}=0[/mm]
[mm] \vektor{m_1 \\ m_2 \\ m_3}*\vektor{-8 \\ 4 \\ 8}=0[/mm]
Dann musst du noch überprüfen ob deine Richtungsvektoren
linear unabhängig sind.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 So 20.01.2008 | | Autor: | belimo |
> Hallo Stefan,
>
> was verstehst du unter einer "Normalebene". Meines Meinung
> nach,
> wird hier eine Ebene gesucht, die senkrecht auf der Geraden
> steht.
> Und durch den Punkt P geht.
Hallo Andi
Hm, das habe ich mir am Anfang auch überlegt. Aber ist die Ebene dann überhaupt eindeutig definiert? Ich meine Senkrecht auf der Gerade und durch einen Punkt: So kann man auch eine Gerade definieren. Eine Ebene kann sich ja dann in diesem Fall um die eigene Achse drehen. Verstehst du was ich meine?
Gruss belimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 So 20.01.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Stefan,
> Hm, das habe ich mir am Anfang auch überlegt. Aber ist die
> Ebene dann überhaupt eindeutig definiert? Ich meine
Ja
> Senkrecht auf der Gerade und durch einen Punkt: So kann man
> auch eine Gerade definieren. Eine Ebene kann sich ja dann
> in diesem Fall um die eigene Achse drehen. Verstehst du was
> ich meine?
Also eine Gerade wäre im dreidimensionalem Raum nicht eindeutig
definiert. Wenn man nur die Bedingung "Punkt" und "senkrecht auf einer Geraden" haben würde. Es gäbe unendlich vieler solcher Geraden,
aber alle Geraden haben eine Eigenschaft gemeinsam, sie liegen in einer Ebene. Und diese sollst du ausrechnen.
Wenn du eine Ebene um ihre eigene Achse drehst bekommst du ja keine neue Ebene.
Gruß
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 So 20.01.2008 | | Autor: | belimo |
Hm, also ich stehe wohl gerade auf dem Schlauch.
Gegeben ist ja eine Gerade g und ein Punkt P. Wenn ich nun eine Gerade suche, welche normal auf g steht und durch P geht, dann ist diese Gerade doch eben definiert! Weil ich kenne ja den Punkt auf g. Ich nenne diesen Punkt mal Q. g und die Strecke QP bilden ja einen rechten Winkel. Und wenn ich diesen Q kenne dann habe ich zwei bekannte Punkte. Und auch im 3D-Raum sind Geraden doch mit zwei Punkten definiert. Ich habe ja Q und P!
Daher würde ich immer noch behaupten, dass es nicht unendlich viele solcher Gerade gibt, sondern nur eine. Ich hoffe, habe mich nicht allzu unverständlich ausgedrückt. Weisst du wo es bei mir klemmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 So 20.01.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Stefan,
> Hm, also ich stehe wohl gerade auf dem Schlauch.
>
> Gegeben ist ja eine Gerade g und ein Punkt P. Wenn ich nun
> eine Gerade suche, welche normal auf g steht und durch P
> geht, dann ist diese Gerade doch eben definiert! Weil ich
> kenne ja den Punkt auf g. Ich nenne diesen Punkt mal Q. g
> und die Strecke QP bilden ja einen rechten Winkel. Und wenn
> ich diesen Q kenne dann habe ich zwei bekannte Punkte. Und
> auch im 3D-Raum sind Geraden doch mit zwei Punkten
> definiert. Ich habe ja Q und P!
Ja da hast du vollkommen recht.
Ich bin davon ausgegangen, dass der gegebene Punkt auf der Geraden liegt,
was natürlich nicht sein muss. Wenn er also nicht auf der Geraden liegt,
dann ist die Gerade eindeutig definiert.
> Daher würde ich immer noch behaupten, dass es nicht
> unendlich viele solcher Gerade gibt, sondern nur eine. Ich
> hoffe, habe mich nicht allzu unverständlich ausgedrückt.
> Weisst du wo es bei mir klemmt?
Also .... ich hab dich jetzt verstanden 
Ich hoffe du mich auch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 20.01.2008 | | Autor: | weduwe |
ich würde mit normalebene eine ebene verstehen, die senkrecht zu g ist und durch P geht, daher
[mm] (\vec{x}-\vektor{-5\\10\\16})\cdot\vektor{-2\\1\\2}=0
[/mm]
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