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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Rmz |
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebenenschar Ea: 2x - 2y - z =a.
a.) Geben Sie eine Hesse'sche Normalenform der Ebenenschar E a an.
b.) Welche Ebenen der Schar Ea haben vom Punkt P (1/3/1) den Abstand d=2 ?
c) Welche Ebenen der Schar Ea haben vom Koordinatenursprung den Abstand d=1 ? |
Meine Hesse'sche Normalenform lautet:
E: [mm] \{ \vec{x} - \vektor{0 \\ 0 \\ -a} \} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ -1} [/mm] =0
aber ich weiss nicht ob die Normalenform richtig ist.....
Und kann jemand mir bitte Weiterhelfen..... ich verstehe b) und c) nicht....
Danke im Voraus....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Rmz |
Bei der Hesse'schen Normalen Form habe ich einen Fehler gemacht: Hinter 2 , -2, -1 kommt eine Wurzel 9 .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Rmz |
Ich weiss nicht ob es so richtig ist....
kann einer mir bei der Nr. b. und c.) helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Di 12.12.2006 | | Autor: | Fulla |
Hi Rmz!
Die Hessesche Normalform (HNF) der Ebenenschar ist:
[mm] $E_a: \quad \bruch{1}{3}*(2x-2y-z-a)=0$
[/mm]
Das schöne an der HNF ist, dass man ganz leicht den Abstand zu einem beliebigen Punkt angeben kann. Man setzt den Punkt einfach in die Ebenengleichung ein:
Der Punkt P=(1,3,1) hätte von der Schar [mm] E_a [/mm] zum Beispiel den Abstand
[mm] \bruch{1}{3}*(2-6-1-a)=-\bruch{5+a}{3}
[/mm]
Das Minuszeichen musst du nicht sonderlich beachten, es gibt lediglich an, auf welcher Seite der Ebene(nschar) der Punkt liegt.
Für welche(s) a der Punkt P nun im Abstand 2 von der Schar [mm] E_a [/mm] liegt, kannst du nun sicher selbst bestimmen...
Die c) ist ganz ähnlich: nimm den Punkt Q=(0,0,0), berechne wieder den Abstand zu [mm] E_a [/mm] und setze das Ergebnis gleich 1.
Lieben Gruß,
Fulla
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