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| Aufgabe | Sei $V = [mm] \IC^2$ [/mm] und $T(a, b) = (2a+ib, a+2b)$. Beantworte die folgenden Fragen:
i) Ist $T$ normal?
ii) Ist $T$ selbstadjungiert?
iii) Was sind die Eigenwerte und -vektoren von $T$?
iv) Ist $T$ diagonalisierbar?
v) Gibt es eine Basis von $V$, die besteht aus orthonormalen Eigenvektoren? |
Hallo allesamt,
ich werde die Teilaufgaben i) bis iv) relativ schnell abarbeiten, weil mein größtes Problem bei v) liegt. Ich hoffe, es ist nicht zu viel, nur ich bleibe bei v) hängen.
Zunächst berechne ich die Matrix $B := [mm] [T]_B$, [/mm] wobei $B$ die Standardbasis für [mm] $\IC^2$ [/mm] ist, und die Matrix der konjugierten Abbildung, $C := [mm] [T^\*]_B$. [/mm] Aus
[mm] $T(\vektor{1\\0}) [/mm] = [mm] 1\vektor{1\\0}+1\vektor{0\\1}$ [/mm] und
[mm] $T(\vektor{0\\1}) [/mm] = [mm] i\vektor{1\\0}+2\vektor{0\\1}$
[/mm]
folgt, dass
$B = [mm] \pmat{1&i\\1&2}$. [/mm]
Da gilt:
[mm] $[T^\*]_B [/mm] = [mm] [T]_B^\*$, [/mm]
haben wir
[mm] $[T^\*]_B [/mm] = [mm] \pmat{1&i\\1&2}^\* [/mm] = [mm] \pmat{1&1\\-i&2}$
[/mm]
Teilaufgabe i)
Um zu zeigen, ob $T$ normal ist, müssen wir beweisen, dass [mm] $TT^\*=T^\*T$:
[/mm]
[mm] $TT^\* [/mm] = [mm] \pmat{1&i\\1&2}\pmat{1&1\\-i&2} [/mm] = [mm] \pmat{2&1+2i\\1-2i&5} \not= \pmat{2&2+i\\2-i&5} [/mm] = [mm] \pmat{1&1\\-i&2}\pmat{1&i\\1&2} [/mm] = [mm] T^\*T$
[/mm]
$T$ ist also nicht normal.
Teilaufgabe ii)
Da $T [mm] \not= T^\*$, [/mm] folgt auch, dass $T$ nicht selbstadjungiert ist.
Teilaufgabe iii)
Um die Eigenwerte zu berechnen, berechnen wir die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:
[mm] $det\pmat{1-\lambda&i\\1&2-\lambda} [/mm] = [mm] (1-\lambda)(2-\lambda)-i [/mm] = 0$
Hieraus folgt:
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(3+\wurzel{1+4i})$ [/mm] und
[mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(3-\wurzel{1+4i})$
[/mm]
Die zugehörigen Eigenvektoren [mm] $v_i$ [/mm] mit $i = 1,2$ berechnen sich mithilfe von:
[mm] $[T]_Bv_i=\lambda_iv_i$
[/mm]
Also:
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2}(-1+\wurzel{1+4i})\\1}$ [/mm] und
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2}(-1-\wurzel{1+4i})\\1}$
[/mm]
Teilaufgabe iv)
Wir müssen ein $P$ finden, wofür gilt, dass
[mm] $(\star) \qquad P^{-1}[T]_BP [/mm] = D$,
wobei $D$ eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von [mm] $[T]_B$ [/mm] auf der Diagonalen ist. Also:
$P = [mm] \pmat{\bruch{1}{2}(-1+\wurzel{1+4i})&\bruch{1}{2}(-1-\wurzel{1+4i})\\1&1}$
[/mm]
Aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgt dann, dass
$D = [mm] \pmat{\bruch{1}{2}(3+\wurzel{1+4i})&0\\0&\bruch{1}{2}(3-\wurzel{1+4i})} [/mm] = [mm] \pmat{\lambda_1&0\\0&\lambda_2}$
[/mm]
$T$ ist also diagonalisierbar.
Teilaufgabe v)
Jetzt kommt der problematische Teil. Zunächst möchte ich eine orthogonale Basis $O = [mm] \{o_1,o_2\}$ [/mm] aus den Eigenvektoren bilden. Hierzu wähle ich zunächst
[mm] $o_1 [/mm] = [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2}(-1-\wurzel{1+4i})\\1}$
[/mm]
und berechne dann:
[mm] $o_2 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] - [mm] \bruch{}{\parallel o_1 \parallel^2}o_1$
[/mm]
Bei dem Bruch läuft aber irgendwas schief. Ich erhalte:
[mm] $\bruch{}{\parallel o_1 \parallel^2} [/mm] = [mm] \bruch{1+\bruch{1}{4}(-1+\wurzel{1+4i})(-1-\wurzel{1-4i})}{1+\bruch{1}{4}(-1+\wurzel{1+4i})(-1+\wurzel{1-4i})}$
[/mm]
Irgendwie glaub ich nicht, dass das richtig ist. Vielleicht könnte jemand meine Geschichte hier mal durchschauen, damit ich den Fehler finden kann.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V = \IC^2[/mm] und [mm]T(a, b) = (2a+ib, a+2b)[/mm]. Beantworte die
> folgenden Fragen:
> i) Ist [mm]T[/mm] normal?
> ii) Ist [mm]T[/mm] selbstadjungiert?
> iii) Was sind die Eigenwerte und -vektoren von [mm]T[/mm]?
> iv) Ist [mm]T[/mm] diagonalisierbar?
> v) Gibt es eine Basis von [mm]V[/mm], die besteht aus orthonormalen
> Eigenvektoren?
> Hallo allesamt,
>
> ich werde die Teilaufgaben i) bis iv) relativ schnell
> abarbeiten, weil mein größtes Problem bei v) liegt. Ich
> hoffe, es ist nicht zu viel, nur ich bleibe bei v)
> hängen.
>
> Zunächst berechne ich die Matrix [mm]B := [T]_B[/mm], wobei [mm]B[/mm] die
> Standardbasis für [mm]\IC^2[/mm] ist, und die Matrix der
> konjugierten Abbildung, [mm]C := [T^\*]_B[/mm]. Aus
>
> [mm]T(\vektor{1\\0}) = 1\vektor{1\\0}+1\vektor{0\\1}[/mm] und
> [mm]T(\vektor{0\\1}) = i\vektor{1\\0}+2\vektor{0\\1}[/mm]
>
> folgt, dass
>
> [mm]B = \pmat{1&i\\1&2}[/mm].
>
> Da gilt:
>
> [mm][T^\*]_B = [T]_B^\*[/mm],
>
> haben wir
>
> [mm][T^\*]_B = \pmat{1&i\\1&2}^\* = \pmat{1&1\\-i&2}[/mm]
>
> Teilaufgabe i)
> Um zu zeigen, ob [mm]T[/mm] normal ist, müssen wir beweisen, dass
> [mm]TT^\*=T^\*T[/mm]:
>
> [mm]TT^\* = \pmat{1&i\\1&2}\pmat{1&1\\-i&2} = \pmat{2&1+2i\\1-2i&5} \not= \pmat{2&2+i\\2-i&5} = \pmat{1&1\\-i&2}\pmat{1&i\\1&2} = T^\*T[/mm]
>
> [mm]T[/mm] ist also nicht normal.
>
> Teilaufgabe ii)
> Da [mm]T \not= T^\*[/mm], folgt auch, dass [mm]T[/mm] nicht selbstadjungiert
> ist.
>
> Teilaufgabe iii)
> Um die Eigenwerte zu berechnen, berechnen wir die
> Nullstellen des charakteristischen Polynoms:
>
> [mm]det\pmat{1-\lambda&i\\1&2-\lambda} = (1-\lambda)(2-\lambda)-i = 0[/mm]
>
> Hieraus folgt:
>
> [mm]\lambda_1 = \bruch{1}{2}(3+\wurzel{1+4i})[/mm] und
> [mm]\lambda_2 = \bruch{1}{2}(3-\wurzel{1+4i})[/mm]
Berechne noch die Wurzeln aus 1+4i !
>
> Die zugehörigen Eigenvektoren [mm]v_i[/mm] mit [mm]i = 1,2[/mm] berechnen
> sich mithilfe von:
>
> [mm][T]_Bv_i=\lambda_iv_i[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]v_1 = \vektor{\bruch{1}{2}(-1+\wurzel{1+4i})\\1}[/mm] und
> [mm]v_2 = \vektor{\bruch{1}{2}(-1-\wurzel{1+4i})\\1}[/mm]
>
> Teilaufgabe iv)
> Wir müssen ein [mm]P[/mm] finden, wofür gilt, dass
>
> [mm](\star) \qquad P^{-1}[T]_BP = D[/mm],
>
> wobei [mm]D[/mm] eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von [mm][T]_B[/mm]
> auf der Diagonalen ist. Also:
>
> [mm]P = \pmat{\bruch{1}{2}(-1+\wurzel{1+4i})&\bruch{1}{2}(-1-\wurzel{1+4i})\\1&1}[/mm]
>
> Aus [mm](\star)[/mm] folgt dann, dass
>
> [mm]D = \pmat{\bruch{1}{2}(3+\wurzel{1+4i})&0\\0&\bruch{1}{2}(3-\wurzel{1+4i})} = \pmat{\lambda_1&0\\0&\lambda_2}[/mm]
>
> [mm]T[/mm] ist also diagonalisierbar.
>
> Teilaufgabe v)
> Jetzt kommt der problematische Teil. Zunächst möchte ich
> eine orthogonale Basis [mm]O = \{o_1,o_2\}[/mm] aus den
> Eigenvektoren bilden. Hierzu wähle ich zunächst
>
> [mm]o_1 = v_1 = \vektor{\bruch{1}{2}(-1-\wurzel{1+4i})\\1}[/mm]
>
> und berechne dann:
>
> [mm]o_2 = v_2 - \bruch{}{\parallel o_1 \parallel^2}o_1[/mm]
>
> Bei dem Bruch läuft aber irgendwas schief. Ich erhalte:
>
> [mm]\bruch{}{\parallel o_1 \parallel^2} = \bruch{1+\bruch{1}{4}(-1+\wurzel{1+4i})(-1-\wurzel{1-4i})}{1+\bruch{1}{4}(-1+\wurzel{1+4i})(-1+\wurzel{1-4i})}[/mm]
Du hast die Wurzeln nicht berechnet und völlig falsch konjugiert.
FRED
>
> Irgendwie glaub ich nicht, dass das richtig ist. Vielleicht
> könnte jemand meine Geschichte hier mal durchschauen,
> damit ich den Fehler finden kann.
>
> Liebe Grüße.
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Hallo,
> >
> > [mm]\lambda_1 = \bruch{1}{2}(3+\wurzel{1+4i})[/mm] und
> > [mm]\lambda_2 = \bruch{1}{2}(3-\wurzel{1+4i})[/mm]
>
> Berechne noch die Wurzeln aus 1+4i !
>
>
Es müsste gelten:
[mm] $\wurzel{1+4i} [/mm] = [mm] \pm\wurzel[4]{17}e^{(arctan(4)/2)i}$
[/mm]
Die Eigenwerte wären dann (jeweils mit algebraischer Multiplizität 2):
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(3+\wurzel[4]{17}e^{(arctan(4)/2)i})$
[/mm]
[mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(3-\wurzel[4]{17}e^{(arctan(4)/2)i})$
[/mm]
womit ich auch nicht ganz glücklich bin. Bevor ich weiterrechne, wäre es cool, wenn das kontrolliert werden könnte.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 23.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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