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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Do 31.10.2013 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Geben Sie für das AWP
[mm] $\phi''=-2sin\phi,\ [/mm] \ [mm] \phi(t_0)=\phi^0,\ [/mm] \ [mm] \phi'(t_0)=\omega^0$
[/mm]
nach Umformung in ein AWP erster Ordnung konkret die Iterationsvorschrift zur Berechnung von [mm] $y^{j+1}$ [/mm] aus [mm] $y^j$ [/mm] an und berechnen sie dann für [mm] $t_0=0, y(0)=\pi/4, [/mm] y'(0)=0, h=0.1$, jeweils einen Zeitschritt für
- das explizite Eulerverfahren
- das verbesserte Eulerverfahren
- die Trapezmethode (nur GLS aufstellen) |
Hallo,
würde gerne wissen ob bei dieser Aufgabe richtig vorgehe.
Zuerst habe ich die DGL umgeschrieben (mit y) und auf ein System 1. Ordnung reduziert.
$y''=-2siny$
Sei
[mm] $y_1(t):=y(t)$ [/mm] und [mm] $y_2(t)=y'(t)=y_1'(t)$
[/mm]
dann lautet das System 1. Ordnung
[mm] $\vektor{y_1' \\ y_2'}=\vektor{y_2 \\ -2siny_1}$
[/mm]
mit Anfangsbedingungen [mm] \vektor{y_1(t_0) \\ y_2(t_0)}=\vektor{y(t_0) \\ y'(t_0)}=y^0
[/mm]
Nun das explizite Eulerverfahren:
Die Vorschrift lautet: [mm] $y^{j+1}=y^j+h*f(t_j,y^j)$
[/mm]
also [mm] $y^1=y^0+h*f(t_0,y^0)$
[/mm]
[mm] $=\vektor{y(t_0) \\ y'(t_0)}+h*\vektor{y'(t_0) \\ -2sin(y(t_0))}$
[/mm]
mit Werten:
[mm] $\vektor{\pi/4 \\ 0}+0.1*\vektor{0 \\ -2sin(\pi/4)}=\vektor{\pi/4 \\ -0.2sin(\pi/4)}$
[/mm]
Ist das soweit korrekt oder muss ich anders vorgehen?
Im Anschluss natürlich noch die Algorithmen von den anderen beiden Verfahren anwenden.
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Hallo Trolli,
> Geben Sie für das AWP
> [mm]\phi''=-2sin\phi,\ \ \phi(t_0)=\phi^0,\ \ \phi'(t_0)=\omega^0[/mm]
>
> nach Umformung in ein AWP erster Ordnung konkret die
> Iterationsvorschrift zur Berechnung von [mm]y^{j+1}[/mm] aus [mm]y^j[/mm] an
> und berechnen sie dann für [mm]t_0=0, y(0)=\pi/4, y'(0)=0, h=0.1[/mm],
> jeweils einen Zeitschritt für
> - das explizite Eulerverfahren
> - das verbesserte Eulerverfahren
> - die Trapezmethode (nur GLS aufstellen)
> Hallo,
>
> würde gerne wissen ob bei dieser Aufgabe richtig vorgehe.
>
> Zuerst habe ich die DGL umgeschrieben (mit y) und auf ein
> System 1. Ordnung reduziert.
> [mm]y''=-2siny[/mm]
> Sei
> [mm]y_1(t):=y(t)[/mm] und [mm]y_2(t)=y'(t)=y_1'(t)[/mm]
> dann lautet das System 1. Ordnung
> [mm]\vektor{y_1' \\ y_2'}=\vektor{y_2 \\ -2siny_1}[/mm]
> mit
> Anfangsbedingungen [mm]\vektor{y_1(t_0) \\ y_2(t_0)}=\vektor{y(t_0) \\ y'(t_0)}=y^0[/mm]
>
>
> Nun das explizite Eulerverfahren:
> Die Vorschrift lautet: [mm]y^{j+1}=y^j+h*f(t_j,y^j)[/mm]
> also [mm]y^1=y^0+h*f(t_0,y^0)[/mm]
> [mm]=\vektor{y(t_0) \\ y'(t_0)}+h*\vektor{y'(t_0) \\ -2sin(y(t_0))}[/mm]
>
> mit Werten:
> [mm]\vektor{\pi/4 \\ 0}+0.1*\vektor{0 \\ -2sin(\pi/4)}=\vektor{\pi/4 \\ -0.2sin(\pi/4)}[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt oder muss ich anders vorgehen?
Das ist soweit korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Im Anschluss natürlich noch die Algorithmen von den
> anderen beiden Verfahren anwenden.
Gruss
MathePower
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