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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Do 22.01.2009 | | Autor: | MartinP |
| Aufgabe | | Sei [mm] \1V \subseteq \IR^{3} [/mm] der Lösungsraum von [mm] \1x+y+2z=0 [/mm] , und sei [mm] \1F:V \to \1V [/mm] der Endomorphismus [mm] \1F(x,y,z)=(x-3y-2z,x+y,y+z-x). [/mm] Berechnen Sie [mm] \1det(F). [/mm] |
[mm] \1(i) [/mm] Zunächst bilde ich eine Basis des Lösungsraums von F und setze dafür :
[mm] \1z=b [/mm] und [mm] \1y=a [/mm] daraus folgt dann [mm] \1x=-a-2b [/mm]
Daraus bilde ich dann:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{-a-2b \\ a \\ b }= a\vektor{ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] b\vektor{ -2 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Ich benenne die beiden mit [mm] \1a_1=\vektor{ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] & [mm] \1b_1=\vektor{ -2 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
[mm] \1(ii) [/mm] Von diesen beiden (Basis-)Vektoren berechne ich dann die jeweiligen Bilder von F:
[mm] \1F(-1,1,0)=(-4,0,2) [/mm] = [mm] a_2
[/mm]
[mm] \1F(-2,0,1)=(-4,-2,3) [/mm] = [mm] b_2
[/mm]
[mm] \1(iii) [/mm] Im Bezug auf die Basisvektoren sehe ich, dass [mm] \1F(a_1)=a_2=2b_1 [/mm] und [mm] \1F(b_1)=b_2=3b_1-2a_1
[/mm]
An dieser Stelle komme ich einfach nicht weiter. Ich könnte noch [mm] b_2=\bruch{3}{2}a_2-2a_1 [/mm] setzen, aber das löst meine Denkblockade einfach nicht auf.
Ist die Vorgehensweise überhaupt richtig? Mein Übungsleiter hat sie zumindest mal theoretisch erklärt und gemeint, dass man das so machen soll.
[mm] \1LG \1Martin
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\1V \subseteq \IR^{3}[/mm] der Lösungsraum von [mm]\1x+y+2z=0[/mm] ,
> und sei [mm]\1F:V \to \1V[/mm] der Endomorphismus
> [mm]\1F(x,y,z)=(x-3y-2z,x+y,y+z-x).[/mm] Berechnen Sie [mm]\1det(F).[/mm]
> [mm]\1(i)[/mm] Zunächst bilde ich eine Basis des Lösungsraums von F
> und setze dafür :
>
> [mm]\1z=b[/mm] und [mm]\1y=a[/mm] daraus folgt dann [mm]\1x=-a-2b[/mm]
>
> Daraus bilde ich dann:
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{-a-2b \\ a \\ b }= a\vektor{ -1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]b\vektor{ -2 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> Ich benenne die beiden mit [mm]\1a_1=\vektor{ -1 \\ 1 \\ 0}[/mm] &
> [mm]\1b_1=\vektor{ -2 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]\1(ii)[/mm] Von diesen beiden (Basis-)Vektoren berechne ich dann
> die jeweiligen Bilder von F:
>
> [mm]\1F(-1,1,0)=(-4,0,2)[/mm] = [mm]a_2[/mm]
> [mm]\1F(-2,0,1)=(-4,-2,3)[/mm] = [mm]b_2[/mm]
>
> [mm]\1(iii)[/mm] Im Bezug auf die Basisvektoren sehe ich, dass
> [mm]\1F(a_1)=a_2=2b_1[/mm] und [mm]\1F(b_1)=b_2=3b_1-2a_1[/mm]
>
Das ist doch prima !
Du hast also: [mm] $F(a_1)=0a_1+2b_1$ [/mm] und [mm] $F(b_1) [/mm] = [mm] -2a_1+3b_1$
[/mm]
Damit hat F bezgl. der Basis { [mm] a_1, b_1 [/mm] } von V die Abbildungsmatrix
[mm] \pmat{ 0 & -2 \\ 2 & 3 }
[/mm]
und somit ist $det(F) = [mm] det\pmat{ 0 & -2 \\ 2 & 3 } [/mm] = 4$
FRED
> An dieser Stelle komme ich einfach nicht weiter. Ich könnte
> noch [mm]b_2=\bruch{3}{2}a_2-2a_1[/mm] setzen, aber das löst meine
> Denkblockade einfach nicht auf.
>
> Ist die Vorgehensweise überhaupt richtig? Mein Übungsleiter
> hat sie zumindest mal theoretisch erklärt und gemeint, dass
> man das so machen soll.
>
> [mm]\1LG \1Martin[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Do 22.01.2009 | | Autor: | MartinP |
Oh mein Gott - vielen Dank!
Da hätte man aber auch wirklich selbst darauf kommen können.
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