Fixpunkt (Satz von Banach) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion $f: [1, 2] [mm] \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] f(x) := [mm] \frac{x+2}{x+1}$
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f das Intervall $[1, 2]$ in sich abbildet.
b) Ziegen Sie, dass f eine kontrahierende Abbildung ist
c) Bestimmen Sie den Fixpunkt von f. |
hi
zu a & b hab ich keine Fragen, das habe ich gezeigt und es hat funktioniert 
Allerdings bin ich mir bei der c unsicher:
in Teilaufgabe a & b überprüfe ich ja die Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz. Daher lag für mich der Schluss zunächst nahe, den Fixpunkt auch mit Hilfe dieses Satzes zu bestimmen. Nach langer Recherche im Internet bin ich aber nicht schlauer geworden, wie dieser Banachsche Fixpunktsatz eigentlich genau funktionieren soll.
Aber letztendlich kann ich bei dieser Aufgabe doch auch einfach "gleichsetzen", also
$$ f(x) = [mm] \frac{x+2}{x+1} [/mm] = x$$
Die Rechnung lautet dann:
[mm] $\gdw [/mm] x + 2 = [mm] x^2 [/mm] + x$
[mm] $\gdw x^2 [/mm] - 2 = 0$
$ [mm] \gdw [/mm] (x + [mm] \sqrt2)(x [/mm] - [mm] \sqrt2) [/mm] = 0$
$ [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \sqrt2 \quad (\vee [/mm] ~x = [mm] -\sqrt2, [/mm] aber [mm] \not\in [/mm] [1, 2])$
also ist mein Fixpunkt doch einfach $P [mm] (\sqrt2 \mid \sqrt2)$
[/mm]
1. ist das richtig?
2. wie funktioniert denn dieser Banachsche Fixpunktsatz? Wir haben dazu folgenden Satz im SKript:
Eine kontrahierende Abbildung $F : X [mm] \rightarrow [/mm] X$ auf einem vollständigen metrischen Raum $(X, d)$ mit Lipschitzkonstante $L < 1$ besitzt genau einen Fixpunkt $x'$, und für die m-te Iterierte [mm] $x_m [/mm] := [mm] f(x_{m-1})$ [/mm] von [mm] $x_0 \in [/mm] X$ gilt
[mm] $$d(x_m, [/mm] x') [mm] \le d(x_1, x_0) \frac{L^m}{1 - L}$$
[/mm]
Ganz ehrlich - schlau werd ich daraus nicht... Kann mir jemand erklären, wie meine Aufgabe anhand dieses Satzes zu lösen wäre (oder auch anhand eines anderen Beispiels)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Merle23 |
> 2. wie funktioniert denn dieser Banachsche Fixpunktsatz?
> Wir haben dazu folgenden Satz im SKript:
> Eine kontrahierende Abbildung [mm]F : X \rightarrow X[/mm] auf
> einem vollständigen metrischen Raum [mm](X, d)[/mm] mit
> Lipschitzkonstante [mm]L < 1[/mm] besitzt genau einen Fixpunkt [mm]x'[/mm],
> und für die m-te Iterierte [mm]x_m := f(x_{m-1})[/mm] von [mm]x_0 \in X[/mm]
> gilt
> [mm]d(x_m, x') \le d(x_1, x_0) \frac{L^m}{1 - L}[/mm]
Du nimmst einfach irgendeinen Punkt aus dem Raum und lässt F drauf los. Dann lässte F auf das Ergebnis los. Dann wieder auf dieses Ergebnis. Und so weiter. Das ganze konvergiert dann gegen den Fixpunkt. Unabhängig vom Startpunkt.
In Formeln aufgeschrieben: $$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X ( [mm] \lim_{n \to \infty} F^n(x) [/mm] = [mm] x_{fix} [/mm] ). $$
Das ist aber sehr ungünstig um den Fixpunkt exakt zu bestimmen - man macht es lieber so wie du es gemacht hast mit Gleichsetzen.
Aber wenn man den Fixpunkt numerisch approximieren will, dann kann man dieses Verfahren anwenden.
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