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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mi 12.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, an alle!
Ich habe hier eine Aufgabe versucht zu lösen, aber ich weiß nicht, ob sie richtig ist. Vielleicht kann mir jemand helfen. Danke!
Aufgabe:
Beweisen Sie nur unter Verwendung der Definition von Konvergenz, d.h. mit einem [mm] \varepsilon-N-Argument, [/mm] dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{(-1+i)n} [/mm] = 0.
Definition von Konvergenz:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] m [mm] \in \IN \forall [/mm] n>m: [mm] |a_{n}-x| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Meine Lösung:
Es sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Wir wählen N [mm] \in \IN [/mm] so, dass folgendes gilt:
[mm] e^{N} \ge \bruch{1}{\varepsilon} \Rightarrow [/mm] N [mm] \ge ln(\bruch{1}{\varepsilon})
[/mm]
| [mm] e^{(-1+i)n}| [/mm] = | [mm] e^{-n+in}| [/mm] = | [mm] e^{-n} e^{in} [/mm] | = [mm] |e^{-n}| [/mm] = | [mm] \bruch{1}{e^{n}}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{e^{N}} \le \varepsilon
[/mm]
Fertig. Ist meine Lösung richtig? Danke für eure Mühe!
ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo VHN!
> Fertig. Ist meine Lösung richtig? Danke für eure Mühe!
Ja, in meinen Augen ist alles richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Eventuell solltest du bei der Wahl von $N$ noch erwähnen, dass ein solches $N$ immer existiert. In diesem Fall scheint es klar, das muss aber nicht immer so sein.
Liebe Grüße und weiterhin viel Erfolg,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Do 13.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo VHN,
grundsätzlich ist deine Lösung korrekt. Zusätzlich zu dem Hinweis von Hanno (du brauchst ja nur einmal zu sagen, dass [m]\frac{1}{\varepsilon}>0[/m] gilt (da ja [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ist) und damit der Ausdruck [m]\ln\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)[/m] auch was sinnvolles ist ([m]\ln(x)[/m] wäre ja für $x [mm] \le [/mm] 0$ etwas "sinnloses")) würde ich aber noch zwei Kleinigkeiten ergänzen (das schreibe ich in Blau):
> Hallo, an alle!
>
> Ich habe hier eine Aufgabe versucht zu lösen, aber ich weiß
> nicht, ob sie richtig ist. Vielleicht kann mir jemand
> helfen. Danke!
>
> Aufgabe:
> Beweisen Sie nur unter Verwendung der Definition von
> Konvergenz, d.h. mit einem [mm]\varepsilon-N-Argument,[/mm] dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e^{(-1+i)n}[/mm] = 0.
>
> Definition von Konvergenz:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] m [mm]\in \IN \forall[/mm] n>m:
> [mm]|a_{n}-x|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Meine Lösung:
> Es sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Wir wählen N [mm]\in \IN[/mm] so, dass
> folgendes gilt:
> [mm]e^{N} \ge \bruch{1}{\varepsilon} \Rightarrow[/mm] N [mm]\ge ln(\bruch{1}{\varepsilon})
[/mm]
>
Dann gilt für alle [mm] $\blue{n > N}$:
[/mm]
> | [mm]e^{(-1+i)n}|[/mm] = | [mm]e^{-n+in}|[/mm] = | [mm]e^{-n} e^{in}[/mm] |
Und jetzt machst du eigentlich folgendes:
[m]\blue{...=|e^{-n}|*\underbrace{|e^{in}|}_{=1,\;da\,n\,\in \IN \subset \IR}=...}[/m]
> [mm]|e^{-n}|[/mm] = | [mm]\bruch{1}{e^{n}}|[/mm] < [mm]\bruch{1}{e^{N}} \le \varepsilon[/mm]
Aber generell:
Viele Grüße,
Marcel
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