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| Aufgabe | Sei [mm] f_{n}[0, \infty)-> \IR [/mm] gegeben durch [mm] f_{n}(x) :=\frac{1}{n}*e^{-x/n}. [/mm] Man zeige:
1) Die Funktionenfolge konvergiert auf [mm] [0,\infty) [/mm] gleichmäßig gegen 0.
2.)Daher ist für alle A>0:
[mm] \limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{A}{f_{n}(x) dx}= \integral_{0}^{A}\limes_{n \to \infty}{f_{n}(x) dx}
[/mm]
3.)Man zeige, für die uneigentlichen riemann Integrale gilt dies nicht.D.h.:
[mm] \limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{\infty}{f_{n}(x) dx}\not= \integral_{0}^{\infty}\limes_{n \to \infty}{f_{n}(x) dx} [/mm] |
Hey
ich würde mich freuen wenn ihr mal drüber gucken könnt und mikr gegebenenfalls sogar weiterhelfen könnt.
Also zu 1) Wenn ich n gegen Unendlich laufen lassen erhalte ich die Grenzfunktion f(X)=0
nun muss ich also die Gleichmäßige Stetigkeit und damit [mm] |f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon [/mm] zeigen.
so erhalte ich:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|= |\frac{1}{n}*e^{-x/n}| \le |\frac{1}{n}*e^{-x}| \le |\frac{1}{n}*1|= [/mm] (1/n) < [mm] \epsilon
[/mm]
zu 2)Also da:
[mm] \integral_{0}^{A}\limes_{n \to \infty}{f_{n}(x) dx}=0 [/mm]
muss gezeigt werden, dass:
[mm] \limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{A}{f_{n}(x) dx}=0
[/mm]
wenn ich umforme erhalte ich:
[mm] limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{A}{f_{n}(x) dx}=\limes_{n \to \infty}| -e^{\frac{-x}{n}}|_{0}^{A}= limes_{n \to \infty} (-e^{-1/n}+1)=0
[/mm]
reicht das als Beweis?
zu 3)
also ich weiß ja, dass
[mm] \integral_{0}^{\infty}\limes_{n \to \infty}{f_{n}(x) dx}=0
[/mm]
also nehme ich an , dass
[mm] \limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{\infty}{f_{n}(x) dx}=0 [/mm] und führe dies zum Widerspruch
[mm] \gdw \limes_{n \to \infty} (\limes_{b \to \infty}-e^{-b/n}+1)
[/mm]
= [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] (0+1)
=1 [mm] \not=0 [/mm]
ist das so ok?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 01.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{-x/n}
Gruß leduart
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Hey
wie kann ich dann an dieser Stelle weiter umformen um zu zeigen, dass dieser Term < [mm] \epsilon?
[/mm]
macht es so sinn?
[mm] |\frac{1}{n}*e^{-x/n}|\le |\frac{1}{n}*e^{0}|=(1/n)< \epsilon
[/mm]
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 So 01.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallllo
für x>0 ist [mm] e^{-x/n}<1
[/mm]
bis dann, lula
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Mo 02.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f_{n}[0, \infty)-> \IR[/mm] gegeben durch [mm]f_{n}(x) :=\frac{1}{n}*e^{-x/n}.[/mm]
> Man zeige:
> 1) Die Funktionenfolge konvergiert auf [mm][0,\infty)[/mm]
> gleichmäßig gegen 0.
> 2.)Daher ist für alle A>0:
> [mm]\limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{A}{f_{n}(x) dx}= \integral_{0}^{A}\limes_{n \to \infty}{f_{n}(x) dx}[/mm]
>
> 3.)Man zeige, für die uneigentlichen riemann Integrale
> gilt dies nicht.D.h.:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{\infty}{f_{n}(x) dx}\not= \integral_{0}^{\infty}\limes_{n \to \infty}{f_{n}(x) dx}[/mm]
>
>
>
>
> Hey
> ich würde mich freuen wenn ihr mal drüber gucken könnt
> und mikr gegebenenfalls sogar weiterhelfen könnt.
> Also zu 1) Wenn ich n gegen Unendlich laufen lassen erhalte
> ich die Grenzfunktion f(X)=0
> nun muss ich also die Gleichmäßige Stetigkeit und damit
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon[/mm] zeigen.
> so erhalte ich:
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|= |\frac{1}{n}*e^{-x/n}| \le |\frac{1}{n}*e^{-x}| \le |\frac{1}{n}*1|=[/mm]
> (1/n) < [mm]\epsilon[/mm]
>
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>
> zu 2)Also da:
> [mm]\integral_{0}^{A}\limes_{n \to \infty}{f_{n}(x) dx}=0[/mm]
> muss gezeigt werden, dass:
> [mm]\limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{A}{f_{n}(x) dx}=0[/mm]
>
> wenn ich umforme erhalte ich:
> [mm]limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{A}{f_{n}(x) dx}=\limes_{n \to \infty}| -e^{\frac{-x}{n}}|_{0}^{A}= limes_{n \to \infty} (-e^{-1/n}+1)=0[/mm]
>
> reicht das als Beweis?
Am Ende sollte aber stehen: = [mm] \limes_{n \to \infty} (-e^{-A/n}+1)=0
[/mm]
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> zu 3)
> also ich weiß ja, dass
> [mm]\integral_{0}^{\infty}\limes_{n \to \infty}{f_{n}(x) dx}=0[/mm]
>
> also nehme ich an , dass
> [mm]\limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{\infty}{f_{n}(x) dx}=0[/mm]
> und führe dies zum Widerspruch
> [mm]\gdw \limes_{n \to \infty} (\limes_{b \to \infty}-e^{-b/n}+1)[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n \to \infty}[/mm] (0+1)
> =1 [mm]\not=0[/mm]
Ja
FRED
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> ist das so ok?
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> LG
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