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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 So 23.05.2004 | | Autor: | Nick |
Guten Tag,
also ich hab' da mal ne Frage:
Man zeige:
[mm]\lim_{n \to \infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{2^k}{k!} (\bruch{n}{n+2})^k =e^2 [/mm]
Hinweis: Setzen Sie [mm]f_n(x):= \summe_{k=1}^{n} \bruch{x^k}{k!}[/mm]
[mm]e^x= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
Könnte es sein, dass die sich da mit der 1 vertan haben und das da igentlich ne Null stehen müsste?!
Ich habe es aber auch mal anders versucht, nur da benutze ich nicht den Hinweis.
Also ich habe mir gedacht, da [mm]e² =\lim_{n \to \infty} (1+\bruch{2}{n})^n [/mm] gilt, muss folglich
[mm]\lim_{n \to \infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{2^k}{k!} (\bruch{n}{n+2})^k = \lim_{n \to \infty} (1+\bruch{2}{n})^n[/mm] gelten und dann auch
[mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{2^k}{k!} (\bruch{n}{n+2})^k =(1+\bruch{2}{n})^n [/mm].
Somit habe ich dann wie folgt begonnen:
[mm](1+\bruch{2}{n})^n = \summe_{k=0}^{n}{n \choose k} \bruch {2^k}{n^k} = \summe_{k=0}^{n} \bruch {n!}{k!(n-k)!}*\bruch {2^k}{n^k} [/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{n} \bruch {2^k}{k!} \bruch{n!}{(n-k)!n^k}[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{n} \bruch {2^k}{k!} \bruch {(n-k)!(n-(k+1))*....*(n)}{(n-k)!*n^k}[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{n} \bruch {2^k}{k!} \bruch{(n-(k+1))*(n-(k+2))*....*n}{n^k} (1-\bruch{k-k}{n}) [/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{n} \bruch {2^k}{k!} \bruch {(n-k-1)(n-k-2)*....*n}{n^k}(1-\bruch{1}{n})[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{n} \bruch {2^k}{k!} \bruch {n^k(1-\bruch{k+1}{n})*(1-\bruch{k+1}{n})*....*1}{n^k}[/mm]
[mm]]=\summe_{k=0}^{n} \bruch {2^k}{k!} (1-\bruch{k+1}{n})*(1-\bruch{k+1}{n})*....*(1-\bruch{1}{n})[/mm]
Ich muss somit nur noch zeigen, dass [mm]1-\bruch{k+1}{n})*(1-\bruch{k+1}{n})*....*(1-\bruch{1}{n}) =(\bruch {n}{n+2})^k[/mm] ist.
Könnt ihr mir da vielleicht helfen?
Nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nick!
Der Einfachheit halber meine Lösung, da mich dein Ansatz irritiert. 
Dau hast recht die [mm] $f_n$'s [/mm] sind falsch definiert, da muss eine $0$ statt der $1$ stehen.
Es sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Da [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $f$ lokal gleichmäßig konvergiert, gibt es ein [mm] $n_0(\varepsilon) \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_0(\varepsilon)$ [/mm] und alle $x [mm] \in \overline{B_2(0)}$ [/mm] gilt:
[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Da $f$ auf [mm] $\overline{B_2(0)}$ [/mm] gleichmäßig stetig ist, gibt es ein [mm] $\delta [/mm] >0$, so dass für alle [mm] $x,y\in \overline{B_2(0)}$ [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] folgendes gilt:
$|f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nun gibt es ein [mm] $n_1(\varepsilon) \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_1(\varepsilon)$, [/mm] gilt:
[mm] $|\frac{2n}{n+2} [/mm] - 2|< [mm] \delta$.
[/mm]
Daraus folgt für alle $n [mm] \ge N(\varepsilon):=\max\{n_0(\varepsilon), n_1(\varepsilon)\}$:
[/mm]
[mm]|f_n(\frac{2n}{n+2}) - f(2)| \le |f_n(\frac{2n}{n+2}) - f(\frac{2n}{n+2})| + |f(\frac{2n}{n+2}) - f(2)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon[/mm].
Daraus folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 23.05.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo stefan,
jetzt hat mich aber deine Lösung total irretiert. Also du sagst doch am Anfang, dass [mm](f_n)_{n\ge1}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{x^k}{k!} [/mm] gegen [mm]f(x)=e^x[/mm] lokal gleichmäßig konvergiert?
Was bedeutet dann bei dir [mm]\overline{B_2(0)}[/mm]?
Und wieso ist [mm]|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2} [/mm]?
Und wie kommst du auf [mm] |\frac{2n}{n+2} - 2|< \delta [/mm]?
Könntest du mir das vielleicht nochmal etwas erklären
Nick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nick!
> jetzt hat mich aber deine Lösung total irretiert.
Echt? Mist, ich dachte ich hätte sie ausführlich und verständlich aufgeschrieben. Hmmh, das frustriert mich jetzt.
> Also du
> sagst doch am Anfang, dass [mm](f_n)_{n\ge1}= \summe_{k=1}^{n} > \bruch{x^k}{k!}[/mm]
> gegen [mm]f(x)=e^x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
lokal gleichmäßig konvergiert?
Ja! Also $(f_n)_{n \in \IN\$ konvergiert auf jedem Kompaktum gleichmäßig, insbesondere also auf $\overline{B_2(0)}$!
> Was bedeutet dann bei dir [mm]\overline{B_2(0)}[/mm]?
Das ist der abgeschlossene Ball um $0$ mit Radius $2$, also:
[mm] $B_2(0) [/mm] = [mm] \{x \in \IR\, :\, |x-0|\le 2\}$.
[/mm]
> Und wieso ist [mm]|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2} [/mm]?
Ich sage ja nur: Da [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig auf [mm] $B_2(0)$ [/mm] konvergiert, gibt es eben zu [mm] $\epsilon'= \frac{\epsilon}{2}$ [/mm] ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon'=\frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
für alle $x [mm] \in B_2(0)$ [/mm] und alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_0$. [/mm] Das ist doch gerade die Definition von gleichmäßiger Konvergenz auf [mm] $B_2(0)$.
[/mm]
> Und wie kommst du auf [mm]|\frac{2n}{n+2} - 2|< \delta [/mm]?
Nun ja, es gilt doch offenbar:
[mm]\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{n+2} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{1+\frac{2}{n}} = \frac{2}{1+0} = 2[/mm].
Nach Definition der Konvergenz gibt es also speziell für [mm] $\delta [/mm] > 0$ ein [mm] $n_1 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_1$, [/mm] gilt:
[mm]|\frac{2n}{n+2} - 2|< \delta [/mm].
Jetzt klarer?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nick,
> Also ich habe mir gedacht, da [mm]e² =\lim_{n \to \infty} (1+\bruch{2}{n})^n[/mm]
> gilt, muss folglich
> [mm]\lim_{n \to \infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{2^k}{k!} (\bruch{n}{n+2})^k = \lim_{n \to \infty} (1+\bruch{2}{n})^n[/mm]
> gelten und dann auch
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{2^k}{k!} (\bruch{n}{n+2})^k =(1+\bruch{2}{n})^n [/mm].
Du schließt also von [mm] $\limes_{n\to\infty}a_n=\limes_{n\to\infty}b_n$ [/mm] auf [mm] $a_n=b_n$? [/mm] Das ist sehr gewagt, falls das tatsächlich deine Schlußweise ist. Gegenbeispiel:
[mm] a_n=\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] b_n=-\bruch{1}{n}
[/mm]
Das wollte ich nur noch zu deiner Lösung bemerken...
Viele Grüße,
Marc.
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