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Gerade Funktionen: kleiner Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:28 Fr 16.03.2012
Autor: no_brain_no_pain

Aufgabe
Sei $f : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0: x * f(x) > 0 [mm] \gdw [/mm] f(-x) = -f(x)$

Hallo zusammen,
bin mir nicht sicher, ob obige Aussage wirklich gilt. Denke wenn man zusätzlich noch Stetigkeit voraussetzt schon. Bin für jede Hilfe dankbar.
LG Andre

        
Bezug
Gerade Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Fr 16.03.2012
Autor: Diophant

Hallo,

meiner Ansicht nach ist die Funktion f mit

[mm] f(x)=x*e^x [/mm]

ein Gegenbeispiel zu deiner Behauptung.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Gerade Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:48 Fr 16.03.2012
Autor: M.Rex


> Hallo,
>  
> meiner Ansicht nach ist die Funktion f mit
>  
> [mm]f(x)=x*e^x[/mm]
>  
> ein Gegenbeispiel zu deiner Behauptung.
>  
> Gruß, Diophant

Hallo Diophant

Das ist in der Tat ein Gegenbeispiel. Noch besser wäre [mm] $f(x)=x\cdot e^{x}+1$, [/mm] da hast du die Bedingung f(x)>0 sicher erfüllt.

Marius


Bezug
                
Bezug
Gerade Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 Fr 16.03.2012
Autor: no_brain_no_pain

Danke für die schnellen Antwort und die Gegenbeispiele. Mein Problem war wohl, dass ich zu sehr davon ausgegangen bin, dass die Behauptung stimmt. Die Gegenbeispiele sind natürlich völlig zutreffend. Gekommen bin ich auf die Äquivalenz durch ein Beispiel für Nichtlineare Schwingungen aus meiner DGL Vorlesung, um genau zu sein:
$$x''(t)+h(x(t))=0$$
In meiner Vorlesung stand als Voraussetzung
[mm] $$\forall [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0: x *h(x)>0$$
wohingegen ich der Literatur (Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen) als Voraussetzung gefunden habe, dass $h$ ungerade sein soll. Deswegen bin ich davon ausgegangen das beides äquivalent ist. Das wirft jetzt natürlich für mich die Frage auf, warum einmal diese und einmal jene Voraussetzung gesetzt wird. Mein Problem liegt da aber wohl im physikalischen Verständnis wie diese Differentialgleichung überhaupt zustande kommt. Beides trifft auf den sinus zu, der wohl das Standartbeispiel für $h(x)$ ist.

Bezug
        
Bezug
Gerade Funktionen: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:44 Fr 16.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Andre!


Die Eigenschaft [mm]f(-x) \ = \ -f(x)[/mm] beschreibt eine ungerade (und keine gerade) Funktion. [aufgemerkt]


Gruß
Loddar


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Gerade Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Fr 16.03.2012
Autor: tobit09

Hallo Andre,

Diophant hat dir ja schon ein Gegenbeispiel zur Hinrichtung genannt. Die Rückrichtung ist ebenfalls falsch: Betrachte z.B. für f die Funktion konstant =0.

Wie kommst du auf die vermutete Äquivalenzaussage?

Die Aussage [mm] $\forall x\not=0: x\cdot [/mm] f(x)>0$ bedeutet übrigens nichts anderes als $f(x)>0$ für alle $x>0$ und $f(x)<0$ für alle $x<0$.

Viele Grüße
Tobias


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