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| Aufgabe | [mm] P=\pmat{1-x & x \\ 1-y & y} [/mm] die Übergangsmatrix wobei x,y [mm] \in [/mm] [0,1]
Berechnn Sie die Gleichgewichtsverteilung. |
Hi zusammen!
Ich sitze an der Aufgabe oben und obwohl ich weiss es kann nicht so schwer sein, komme ich gerade nicht weiter. Also wir hatten in der Theorie [mm] \lambda^{t}*P=\lambda^{t}. [/mm] Mein Problem ist, dass wir in der Vorlesung oft durch raten/überlegen auf das [mm] \mü [/mm] gekommen sind. Gibt es da eine andere Möglichkeit? Oder istdie einzige Bedingung die obige?
Wie gesagt ich versteh das alles noch nicht ganz..
Durch ausprobieren kam ich mal auf [mm] \lambda=(1-y,x). [/mm] Um eine Gleichverteilung zu berechnen reicht mir das [mm] \mü?
[/mm]
Schon im Vorraus vielen lieben Dank für jegliche Hilfe..
Grüsse Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Do 09.04.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> wir hatten in der Theorie [mm]\lambda^{t}*P=\lambda^{t}.[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow P^t\lambda [/mm] - [mm] I\lambda [/mm] = 0$
[mm] $\Leftrightarrow \pmat{-x & 1-y \\ x & y-1}\lambda=0 [/mm] $
und jetzt das LGS lösen.
> Wie gesagt ich versteh das alles noch nicht ganz..
> Durch ausprobieren kam ich mal auf [mm]\lambda=(1-y,x).[/mm] Um
Das gehört noch normiert.
> eine Gleichverteilung zu berechnen reicht mir das [mm]\mü?[/mm]
>
Ihr hattet sicher mal ein paar Sätze zur Eindeutigkeit von stationären Verteilungen. =)
ciao
Stefan
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Vielen Dank erstmal..
Leider hab ich doch noch ein paar Fragen:
[mm] \lambda^{t}\cdot{}P=\lambda^{t} \Leftrightarrow P^t\lambda [/mm] - [mm] I\lambda [/mm] = 0 diesen Schritt versteh ich noch nicht ganz, aber da muss ich wohl nochmals über meine LinAlg Bücher *upsi*
Dann danach mit dieser Matrix habe ich ja das Problem, dass die Zeilen lin. abhängig sind. Das heisst die Lösung enthält einen Parameter?
zu meinem [mm] \lambda [/mm] nochmal: also [mm] \lambda=(1-y,x) [/mm] normiert wäre das dann [mm] \lambda=\bruch{1}{\wurzel{(1-y)^{2}+x^{2}}}*(1-y,x) [/mm] oder?
Sieht mir sehr umständlich aus..
Würde mich sehr freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Vielen lieben Dank, Ersti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Do 09.04.2009 | | Autor: | Blech |
> Vielen Dank erstmal..
> Leider hab ich doch noch ein paar Fragen:
> [mm]\lambda^{t}\cdot{}P=\lambda^{t} \Leftrightarrow P^t\lambda[/mm]
> - [mm]I\lambda[/mm] = 0 diesen Schritt versteh ich noch nicht ganz,
transponiert, dann [mm] $\lambda$ [/mm] auf beiden Seiten abgezogen.
> aber da muss ich wohl nochmals über meine LinAlg Bücher
> *upsi*
Ja, das solltest Du. =)
> Dann danach mit dieser Matrix habe ich ja das Problem,
> dass die Zeilen lin. abhängig sind. Das heisst die Lösung
> enthält einen Parameter?
Der verschwindet dann beim normieren.
> zu meinem [mm]\lambda[/mm] nochmal: also [mm]\lambda=(1-y,x)[/mm] normiert
> wäre das dann
> [mm]\lambda=\bruch{1}{\wurzel{(1-y)^{2}+x^{2}}}*(1-y,x)[/mm] oder?
?
Die einzelnen Koeffizienten sind doch die Wkeiten für die einzelnen Fälle. D.h. die Summe über die Koeffizienten muß 1 sein (analog zu den Zeilensummen der Matrix), nicht die Vektorlänge.
d.h. [mm] $\mu= \frac{1}{1-y+x}(1-y; [/mm] x)$
Die andere Voraussetzung, Nichtnegativität, ist ja erfüllt (wieso?)
ciao
Stefan
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