Gradient < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie die Kraft $ [mm] \vec{F}=\vec{F}(\vec{r}) [/mm] $ vom folgenden Potential.
$ [mm] U(\overrightarrow{r})=\bruch{c}{4}*r^2 [/mm] $ |
Die Kraft ist ja $ [mm] \vec{F}(\vec{r})=-gradU(\vec{r}) [/mm] $
Kann ich folgendermaßen vorgehen?
$ [mm] -grad(\bruch{c}{4}*r^2)=\bruch{c}{4}*\bruch{\partial r^2}{\partial r}=\bruch{c}{4}*2*r*\vec{e_{r}}=\bruch{c}{2}*r*\vec{e_{r}} [/mm] $
Oder muss ich:
$ [mm] -grad(\bruch{c}{4}*r^2)=-grad(\bruch{c}{4}*\bruch{r^3}{\vec{r}})=-grad(\bruch{c}{4}*\bruch{\wurzel{x^2+y^2+z^2}^3}{x*\vec{e_{x}}+y*\vec{e_{y}}+z*\vec{e_{z}}}) [/mm] $ und dann den Kram in der Klammer gemäß Gradienten jeweils nach x, y und z partiell ableiten und das Ganze addieren?
Vielen Dank für Hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Di 01.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie die Kraft [mm]\vec{F}=\vec{F}(\vec{r})[/mm] vom
> folgenden Potential.
>
> [mm]U(\overrightarrow{r})=\bruch{c}{4}*r^2[/mm]
> Die Kraft ist ja [mm]\vec{F}(\vec{r})=-gradU(\vec{r})[/mm]
>
> Kann ich folgendermaßen vorgehen?
>
> [mm]-grad(\bruch{c}{4}*r^2)=\bruch{c}{4}*\bruch{\partial r^2}{\partial r}=\bruch{c}{4}*2*r*\vec{e_{r}}=\bruch{c}{2}*r*\vec{e_{r}}[/mm]
der Gradient ist nicht mit der partiellen Ableitung zu verwechseln. Das Ergebnis ist richtig, aber wo kommt der Einheitsvektor her, fällt der von Himmel? Das Vorzeichen hast Du auch verschlampt:
[mm] $-\mathrm{grad}\left(\frac{c}{4}r^{2}\right)=-\frac{c}{4}\cdot\mathrm{grad}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)=-\frac{c}{4}\cdot\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\cdot\vec{e}_{i}=-\frac{c}{2}\vec{r}$ [/mm]
>
> Oder muss ich:
>
> [mm]-grad(\bruch{c}{4}*r^2)=-grad(\bruch{c}{4}*\bruch{r^3}{\vec{r}})=-grad(\bruch{c}{4}*\bruch{\wurzel{x^2+y^2+z^2}^3}{x*\vec{e_{x}}+y*\vec{e_{y}}+z*\vec{e_{z}}})[/mm]
> und dann den Kram in der Klammer gemäß Gradienten jeweils
> nach x, y und z partiell ableiten und das Ganze addieren?
Um Gottes Willen, bloß nicht! Division durch Vektoren ist nicht definiert.
>
> Vielen Dank für Hilfe
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
Klar, der Einheitsvektor gehört ja noch zum Gradienten. Habe das ziemlich schnell hingeklatscht, sodass ich einiges vergessen habe.
Danke!
|
|
|
|
