Grenzwert mit Kosinus und x² < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:43 Mi 20.09.2006 | | Autor: | felixw |
| Aufgabe | Zeige, dass
[mm] \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] |
Der Grenzwert ist auch hier erwähnt: http://tinyurl.com/rjxds
Aber auch dort ist es nicht bewiesen.
Ich vermute, man muss irgendwie entweder den Zähler so umformen, dass sich x² rauskürzt, oder den Nenner so umformen, dass sich der Kosinus rauskürzt. Aber ich hab keine Idee, wie das gehen könnte.
Irgendwelche Ideen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
Hast du vielleicht schon mal was von der ![[]](/images/popup.gif) Regel von lHospital
Wenn nicht, dann lies dir mal das durch und dann solltes es mit dem beweis klappen.
Als Tipp:
Hier muß die regel 2 mal angewand werden.
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Hallo Tequilla!
Ich habe dazu noch eine Frage: Gilt diese Regel von l'hospital ausschließlich für den Fall, daß man als möglichen Grenzwert [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] erhält oder könnte man die Regel bei jeder gebrochen-rationalen Funktion anwenden?
Gruß,
Tommy
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HI!
Ja, die regel gilt ausschliesslich nur für die Fälle:
[mm] \bruch{\infty}{\infty}, \bruch{-\infty}{-\infty} [/mm] und [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Aber wenn Du 2 funktionen u(x)*v(x) hast, wo der fall [mm] 0*\infty [/mm] auftritt, dann kann du durch die umformung:
[mm] \bruch{u(x)}{\bruch{1}{v(x)}} [/mm] bzw. [mm] \bruch{v(x)}{\bruch{1}{u(x)}} [/mm] wieder ein [mm] \bruch{0}{0} [/mm] bzw. [mm] \bruch{\pm\infty}{\pm\infty} [/mm] fall bekommen.
Wenn bei u(x)-v(x) [mm] \infty-\infty [/mm] rauskommt, dann mußt du das hier bilden:
[mm] \bruch{\bruch{1}{v(x)}-\bruch{1}{u(x)}}{\bruch{1}{v(x)*u(x)}}
[/mm]
dann kommst du wieder auf ein [mm] \bruch{0}{0} [/mm] bzw. [mm] \bruch{\pm\infty}{\pm\infty} [/mm] usw.
Und noch ein sonderfall:
Falls bei dem Fall [mm] u(x)^{v(x)} [/mm] das [mm] 0^{0}, \infty^{0} [/mm] und [mm] 1^{\infty} [/mm] raus kommt, dann mußt man die Folmel [mm] e^{v(x)*lnu(x)} [/mm] nutzen.
Hoffe das war einigermaßen verständlich.
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