Grenzwert nachweisen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabenstellung editiert von angela.h.b.
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR^2\to\IR [/mm] definiert durch [mm] f(x)=\bruch{x_1x_2^2}{x_1^{\red{2}}+x_2^{\red{2}}} [/mm] für [mm] x\not= [/mm] 0 und f(x)=0 für x=0
Zeige, dass f stetig ist und für jedes [mm] x\in\IR^{\red{2}} [/mm] und jedes [mm] y\in\IR^2
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x+ty)-f(x)}{t}=g(x,y) [/mm] existiert, aber dass die Abbildung [mm] y\mapsto [/mm] g(0,y) nicht linear ist (so dass f im Punkt 0 nicht differenzierbar sein kann). |
Hallo zusammen. Wir haben jetzt mit Differenzierbarkeit im mehrdimensionalen angefangen.
Ich habe schon gezeigt, dass f stetig ist. Größere Probleme habe ich eher dabei, diesen Grenzwert nachzuweisen. Kann man das nicht irgendwie umgehen? Z.b. in dem man zeigt, dass f für [mm] x\not= [/mm] 0 linear ist? Falls man das so sagen kann, was ich meine ist, das
[mm]t*f(x)=f(t*x)[/mm] gilt.
und lineare Abbildungen sind doch stets diffbar, so ist es ja zumindest bei nur einer Veränderlichen. Damit existiert doch dann auch der oben genannte Grenzwert. Und dann auch insbesondere die partiellen Ableitungen?!
Und ich kann das g(x, y) bestimmen indem ich die partiellen Ableitungen bilde oder?? Also:
g(x, y)= [mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial e_1}*y_1+\bruch{\partial f(x)}{\partial e_2}*y_2 [/mm] also die Ableitung in Richtung der 2 Standartbasisvektoren von [mm] \IR^2
[/mm]
Ist das jetzt der Grenzwert in irgendeinem [mm] x\in\IR² [/mm] in Richtung irgendeines [mm] y\in\IR^2? [/mm] Ich habe das so aus den Defnitionen entnommen.. hoffe ich habe das so richtig verstanden.
Grüße, kulli
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Hiho,
> Ist das jetzt der Grenzwert in irgendeinem [mm]x\in\IR²[/mm] in
> Richtung irgendeines [mm]y\in\IR^2?[/mm] Ich habe das so aus den
> Defnitionen entnommen.. hoffe ich habe das so richtig verstanden.
Ja, gemeinhin auch Richtungsableitung nach y im Punkt x genannt.
Wenn du zeigst, dass dies immer existiert, insbesondere natürlich auch die partiellen Ableitungen.
Aber was bereitet dir nun eigentlich Probleme?
Einmal richtig aufschreiben hilft meist weiter:
[mm] $\bruch{f(x+ty)-f(x)}{t} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2}{x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2)} - \bruch{x_1x_2^2}{x_1 + x_2}}{t} [/mm] = [mm] \bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2*(x_1+x_2) - x_1x_2^2*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)} [/mm]
$= [mm] \bruch{t*(t^2x_2y_1y_2^2 + t^2x_1y_1y_2^2 + 2tx_2^2y_1y_2 + tx_1x_2y_2^2 + 2tx_1x_2y_1y_2 + tx_1^2y_2^2 + x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2)}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{t^2x_2y_1y_2^2 + t^2x_1y_1y_2^2 + 2tx_2^2y_1y_2 + tx_1x_2y_2^2 + 2tx_1x_2y_1y_2 + tx_1^2y_2^2 + x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2}{(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}$
[/mm]
[mm] $\to \bruch{x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2}{(x_1+x_2)^2}$
[/mm]
Beachte, dass dies natürlich nur für [mm] $x\not=0$ [/mm] funktioniert (Warum?).
Für x=0 mache die Betrachtung separat 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:35 Do 07.06.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hab ich natürlich sofort behoben 
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> Hiho,
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> > Ist das jetzt der Grenzwert in irgendeinem [mm]x\in\IR²[/mm] in
> > Richtung irgendeines [mm]y\in\IR^2?[/mm] Ich habe das so aus den
> > Defnitionen entnommen.. hoffe ich habe das so richtig
> verstanden.
>
> Ja, gemeinhin auch Richtungsableitung nach y im Punkt x
> genannt.
> Wenn du zeigst, dass dies immer existiert, insbesondere
> natürlich auch die partiellen Ableitungen.
>
> Aber was bereitet dir nun eigentlich Probleme?
> Einmal richtig aufschreiben hilft meist weiter:
>
> [mm]$\bruch{f(x+ty)-f(x)}{t}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2}{x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2)} - \bruch{x_1x_2^2}{x_1 + x_2}}{t}[/mm]
> = [mm]\bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2*(x_1+x_2) - x_1x_2^2*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{t*(t^2x_2y_1y_2^2 + t^2x_1y_1y_2^2 + 2tx_2^2y_1y_2 + tx_1x_2y_2^2 + 2tx_1x_2y_1y_2 + tx_1^2y_2^2 + x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2)}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{t^2x_2y_1y_2^2 + t^2x_1y_1y_2^2 + 2tx_2^2y_1y_2 + tx_1x_2y_2^2 + 2tx_1x_2y_1y_2 + tx_1^2y_2^2 + x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2}{(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
>
>
> [mm]\to \bruch{x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2}{(x_1+x_2)^2}[/mm]
Puuh.. danke für deine Mühe.. ich hab schon auf halber Strecke aufgegeben, ist nicht so meine Stärke mit so großen Brüchen oder auch Termen rumzuwursteln und ich hab es auch nicht vor in der Klausur damit anzufangen.. dauert zu lang und der Erfolg ist nicht garantiert ;) Deswegen wäre es gut zu wissen, ob ich so argumentieren darf. Also zieht das Argument, dass f differenzierbar ist, weil f linear ist? (Außerhalb von 0)
> Beachte, dass dies natürlich nur für [mm]x\not=0[/mm] funktioniert
> (Warum?).
> Für x=0 mache die Betrachtung separat
Ja für x=(0, 0) würde man ja dann durch null teilen. Von vorne angefangen und x=0 erhalte ich:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t^3y_1y_2^2}{t^2y_1^2+t^2y_2^2}}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{y_1y_2^2}{y_1^2+y_2^2}=\bruch{y_1y_2^2}{y_1^2+y_2^2}
[/mm]
Also die Ableitung in x=0 ist gleich dem Funktionswert des Vektors in desswen Richtung man ableitet. Aber die beiden partiellen Ableitungen in x=(0,0) sind null! Was sagt das denn jetzt aus? Müsste die allgemeine Richtungsableitung in x=(0,0) nicht dann auch null sein? Sprich: [mm] \bruch{y_1y_2^2}{y_1^2+y_2^2}? [/mm]
Und noch eine Frage habe ich: Wo ist der Unterschied zwischen der Ableitung und der eindeutig bestimmten linearen Abbildung (meist mit L bezeichnet)? Ist damit stets das selbe gemeint? Wieso bekomme ich für die partiellen Ableitungen null heraus und für die allgemeine Richtungsableitung nicht? Liegt es daran, dass f in null nicht differenzierbar ist? (was ja laut Aufgabenstellung der Fall ist)
Ist das der Widerspruch der einen stutzig machen sollte?
Grüße, kulli
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 11.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo, ich habe mir noch etwas anderes "überlegt", würde mich sehr freuen, wenn sich das kurz jmd anschaut.
Hier nochmal die Abbildung:
f: [mm] \IR²\to\IR, f(x)=\begin{cases} \bruch{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^2}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
f ist ja stetig. Dann existieren doch die beiden partiellen Ableitungen, weil ich f ja jeweils nur in einer Veränderlichen betrachte. Also kann ich die mit normalen Ableitungsregeln berechnen und muss nicht den Grenzwert [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}\bruch{f(x-te_{1,2})-f(x)}{t} [/mm] untersuchen. Ich muss doch dann nur zeigen, dass die partiellen Ableitungen stetig in [mm] x\in\IR^2\backslash\{0\} [/mm] sind, dann ist f differenzierbar und der Grenzwert
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty}\bruch{f(x-ty)-f(x)}{t} [/mm] existiert. Wohlgemerkt in [mm] x\not=0.
[/mm]
Stimmt das so?
Ich hab noch eine Aufgabe von ähnlichem Format zu bearbeiten, da ist es aber noch um einiges schlimmer die Existenz der Richtungsableitung in einem beliebigen Punkt nachzuweisen. Im Königsberger Analysis 2, s. 49/50 wird diese Aufg. auch bearbeitet und da wird gar nicht erst darauf eingegangen, ob f außerhalb von 0 differenzierbar ist. Anscheinend ist das so offensichtlich.. aber wieso?? Ich will (vorallem in der Klausur) gar nicht erst anfangen irgendwelche haarigen Grenzwerte zur Diffbarkeit auszurechnen, das macht kein Spaß, dauert lange und man verrechnet sich ständig.
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo, ich habe mir noch etwas anderes "überlegt", würde
> mich sehr freuen, wenn sich das kurz jmd anschaut.
>
>
> Hier nochmal die Abbildung:
>
> f: [mm]\IR²\to\IR, f(x)=\begin{cases} \bruch{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^2}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> f ist ja stetig.
Auch bei $(0,0)$? Dies ist zunächst nicht offensichtlich.
> Dann existieren doch die beiden partiellen
> Ableitungen, weil ich f ja jeweils nur in einer
> Veränderlichen betrachte.
Die Begründung ist keine. Es gibt stetige Funktionen, die nicht differenzierbar sind.
> Also kann ich die mit normalen
> Ableitungsregeln berechnen und muss nicht den Grenzwert
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}\bruch{f(x-te_{1,2})-f(x)}{t}[/mm]
> untersuchen. Ich muss doch dann nur zeigen, dass die
> partiellen Ableitungen stetig in [mm]x\in\IR^2\backslash\{0\}[/mm]
> sind, dann ist f differenzierbar und der Grenzwert
>
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}\bruch{f(x-ty)-f(x)}{t}[/mm]
> existiert. Wohlgemerkt in [mm]x\not=0.[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja! Für [mm] $x\ne [/mm] 0$ und [mm] $y\in\IR^2$ [/mm] beliebig ist die Funktion [mm] $t\mapsto [/mm] f(x+ty)$ eine in einer genügend kleinen Umgebung von [mm] $0\in \IR$ [/mm] definierte rationale Funktion und nach den Differentiationsregeln in Ana 1 stetig differenzierbar.
Insbesondere existieren die partiellen Ableitungen von $f$ auf [mm] $\IR^2\setminus \{(0,0)\}$ [/mm] und sind stetig.
> Ich hab noch eine Aufgabe von ähnlichem Format zu
> bearbeiten, da ist es aber noch um einiges schlimmer die
> Existenz der Richtungsableitung in einem beliebigen Punkt
> nachzuweisen. Im Königsberger Analysis 2, s. 49/50 wird
> diese Aufg. auch bearbeitet und da wird gar nicht erst
> darauf eingegangen, ob f außerhalb von 0 differenzierbar
> ist. Anscheinend ist das so offensichtlich.. aber wieso??
Nach dem Differenzierbarkeitskriterium ist $f$ bei [mm] $x\ne [/mm] 0$ differenzierbar, da die partiellen Ableitungen in einer Umgebung von $x$ existieren und in $x$ stetig sind.
> Ich will (vorallem in der Klausur) gar nicht erst anfangen
> irgendwelche haarigen Grenzwerte zur Diffbarkeit
> auszurechnen, das macht kein Spaß, dauert lange und man
> verrechnet sich ständig.
Ist ja auch nicht nötig!
Die Richtungsableitung in Richtung [mm] $y\ne [/mm] 0$ am Punkt $0$ ergibt sich so:
[mm] $\frac [/mm] {f(0+ty)-f(0)} {t-0} = [mm] \frac {t^3 y_1y_2^2} {t^3(y_1^2 + y_2^2)} [/mm] = [mm] \frac {y_1y_2^2} {y_1^2 + y_2^2}\to [/mm] f(y)$ für [mm] $t\to [/mm] 0$.
Grüße,
Wolfgang
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> > Hallo, ich habe mir noch etwas anderes "überlegt", würde
> > mich sehr freuen, wenn sich das kurz jmd anschaut.
> >
> >
> > Hier nochmal die Abbildung:
> >
> > f: [mm]\IR²\to\IR, f(x)=\begin{cases} \bruch{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^2}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > f ist ja stetig.
>
> Auch bei [mm](0,0)[/mm]? Dies ist zunächst nicht offensichtlich.
ja richtig.. ist es auch nicht! Ich hatte es aber schon gezeigt und wollte daher nicht mehr darauf eingehen.
> > Dann existieren doch die beiden partiellen
> > Ableitungen, weil ich f ja jeweils nur in einer
> > Veränderlichen betrachte.
>
> Die Begründung ist keine. Es gibt stetige Funktionen, die
> nicht differenzierbar sind.
Gibt es denn auch gebrochen rationale Funktionen die stetig, aber nicht differenzierbar sind in ihrem Definitionsbereich?
> > Also kann ich die mit normalen
> > Ableitungsregeln berechnen und muss nicht den Grenzwert
> > [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}\bruch{f(x-te_{1,2})-f(x)}{t}[/mm]
> > untersuchen. Ich muss doch dann nur zeigen, dass die
> > partiellen Ableitungen stetig in [mm]x\in\IR^2\backslash\{0\}[/mm]
> > sind, dann ist f differenzierbar und der Grenzwert
> >
> >
> > [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}\bruch{f(x-ty)-f(x)}{t}[/mm]
> > existiert. Wohlgemerkt in [mm]x\not=0.[/mm]
> >
> > Stimmt das so?
>
> Ja! Für [mm]x\ne 0[/mm] und [mm]y\in\IR^2[/mm] beliebig ist die Funktion
> [mm]t\mapsto f(x+ty)[/mm] eine in einer genügend kleinen Umgebung
> von [mm]0\in \IR[/mm] definierte rationale Funktion und nach den
> Differentiationsregeln in Ana 1 stetig differenzierbar.
>
> Insbesondere existieren die partiellen Ableitungen von [mm]f[/mm]
> auf [mm]\IR^2\setminus \{(0,0)\}[/mm] und sind stetig.
>
> > Ich hab noch eine Aufgabe von ähnlichem Format zu
> > bearbeiten, da ist es aber noch um einiges schlimmer die
> > Existenz der Richtungsableitung in einem beliebigen Punkt
> > nachzuweisen. Im Königsberger Analysis 2, s. 49/50 wird
> > diese Aufg. auch bearbeitet und da wird gar nicht erst
> > darauf eingegangen, ob f außerhalb von 0 differenzierbar
> > ist. Anscheinend ist das so offensichtlich.. aber wieso??
>
> Nach dem Differenzierbarkeitskriterium ist [mm]f[/mm] bei [mm]x\ne 0[/mm]
> differenzierbar, da die partiellen Ableitungen in einer
> Umgebung von [mm]x[/mm] existieren und in [mm]x[/mm] stetig sind.
>
> > Ich will (vorallem in der Klausur) gar nicht erst anfangen
> > irgendwelche haarigen Grenzwerte zur Diffbarkeit
> > auszurechnen, das macht kein Spaß, dauert lange und man
> > verrechnet sich ständig.
>
> Ist ja auch nicht nötig!
>
> Die Richtungsableitung in Richtung [mm]y\ne 0[/mm] am Punkt [mm]0[/mm] ergibt
> sich so:
>
> [mm]\frac {f(0+ty)-f(0)} {t-0} = \frac {t^3 y_1y_2^2} {t^3(y_1^2 + y_2^2)} = \frac {y_1y_2^2} {y_1^2 + y_2^2}\to f(y)[/mm]
> für [mm]t\to 0[/mm].
Jap.. so stehts auch im Königsberger!
> Grüße,
> Wolfgang
Danke schön für deine Antwort!
Grüße, kulli
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:19 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Helbig |
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> [mm]$\bruch{f(x+ty)-f(x)}{t}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2}{x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2)} - \bruch{x_1x_2^2}{x_1 + x_2}}{t}[/mm]
> = [mm]\bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2*(x_1+x_2) - x_1x_2^2*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{t*(t^2x_2y_1y_2^2 + t^2x_1y_1y_2^2 + 2tx_2^2y_1y_2 + tx_1x_2y_2^2 + 2tx_1x_2y_1y_2 + tx_1^2y_2^2 + x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2)}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
Im Zähler hast Du doch viele Summanden, in denen der Faktor $t$ nicht enthalten ist.
Daher kannst Du $t$ auch nicht ausklammern.
>
> [mm]= \bruch{t^2x_2y_1y_2^2 + t^2x_1y_1y_2^2 + 2tx_2^2y_1y_2 + tx_1x_2y_2^2 + 2tx_1x_2y_1y_2 + tx_1^2y_2^2 + x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2}{(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
>
>
> [mm]\to \bruch{x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2}{(x_1+x_2)^2}[/mm]
>
> Beachte, dass dies natürlich nur für [mm]x\not=0[/mm] funktioniert
> (Warum?).
Was ist $f(-1,1)$? Bis jetzt noch nicht definiert! Und schon gar nicht die partielle Ableitung an der Stelle $(-1,1)$.
Gruß,
Wolfgang
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> >
> > [mm]$\bruch{f(x+ty)-f(x)}{t}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2}{x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2)} - \bruch{x_1x_2^2}{x_1 + x_2}}{t}[/mm]
> > = [mm]\bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2*(x_1+x_2) - x_1x_2^2*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
> >
> > [mm]= \bruch{t*(t^2x_2y_1y_2^2 + t^2x_1y_1y_2^2 + 2tx_2^2y_1y_2 + tx_1x_2y_2^2 + 2tx_1x_2y_1y_2 + tx_1^2y_2^2 + x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2)}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
>
> Im Zähler hast Du doch viele Summanden, in denen der
> Faktor [mm]t[/mm] nicht enthalten ist.
> Daher kannst Du [mm]t[/mm] auch nicht ausklammern.
Hallo,
Gonozal hat nicht ausgeklammert, sondern den GW für [mm] t\to [/mm] 0 gebildet.
>
>
> >
> > [mm]= \bruch{t^2x_2y_1y_2^2 + t^2x_1y_1y_2^2 + 2tx_2^2y_1y_2 + tx_1x_2y_2^2 + 2tx_1x_2y_1y_2 + tx_1^2y_2^2 + x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2}{(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\to \bruch{x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2}{(x_1+x_2)^2}[/mm]
>
> >
> > Beachte, dass dies natürlich nur für [mm]x\not=0[/mm] funktioniert
> > (Warum?).
>
> Was ist [mm]f(-1,1)[/mm]? Bis jetzt noch nicht definiert! Und schon
> gar nicht die partielle Ableitung an der Stelle [mm](-1,1)[/mm].
Dummerweise erscheint kullinarischs Aufgabenstellung anders als geplant: die beiden Quadrate im Nenner werden nicht angezeigt.
Ich editiere das gleich mal.
LG Angela
>
> Gruß,
> Wolfgang
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 09:38 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> > >
> > > [mm]$\bruch{f(x+ty)-f(x)}{t}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2}{x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2)} - \bruch{x_1x_2^2}{x_1 + x_2}}{t}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{(x_1 + ty_1)(x_2 + ty_2)^2*(x_1+x_2) - x_1x_2^2*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
> > >
> > > [mm]= \bruch{t*(t^2x_2y_1y_2^2 + t^2x_1y_1y_2^2 + 2tx_2^2y_1y_2 + tx_1x_2y_2^2 + 2tx_1x_2y_1y_2 + tx_1^2y_2^2 + x_2^3y_1 + x_1x_2^2y_2 + 2x_1^2x_2y_2)}{t*(x_1 + x_2 + t(y_1 + y_2))(x_1+x_2)}[/mm]
>
> >
> > Im Zähler hast Du doch viele Summanden, in denen der
> > Faktor [mm]t[/mm] nicht enthalten ist.
> > Daher kannst Du [mm]t[/mm] auch nicht ausklammern.
>
> Hallo,
>
> Gonozal hat nicht ausgeklammert, sondern den GW für [mm]t\to[/mm] 0
> gebildet.
Ich meine die Gleichung vor dem Grenzübergang!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 10:42 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hiho,
>
> die Summanden ohne t fallen weg im Zähler.
> Und übrig bleiben nur welche mit t
Tatsächlich!
Hab' ich übersehen. Werde verstärt WolframAlpha nutzen, bevor ich Rechenfehler melde, die keine sind!
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Kulli,
> Es sei f: [mm]\IR^2\to\IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x)=\bruch{x_1x_2^2}{x_1²+x_2²}[/mm] für [mm]x\not=[/mm] 0 und f(x)=0
> für x=0
Der Exponent $2$ ist unsichtbar. Damit wir sie auch sehen, schreibe so:
[mm]f(x)=\bruch{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^2}[/mm] für [mm]x\not=[/mm] 0 und $f(x)=0$ für $x=0$.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Marcel |
@ kulli:
> Hallo Kulli,
>
> > Es sei f: [mm]\IR^2\to\IR[/mm] definiert durch
> > [mm]f(x)=\bruch{x_1x_2^2}{x_1²+x_2²}[/mm] für [mm]x\not=[/mm] 0 und f(x)=0
> > für x=0
>
> Der Exponent [mm]2[/mm] ist unsichtbar. Damit wir sie auch sehen,
> schreibe so:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^2}[/mm] für [mm]x\not=[/mm] 0 und [mm]f(x)=0[/mm]
> für [mm]x=0[/mm].
insbesondere, in Deinem eigenen Interesse, ist es immer sinnvoll, sich die Aufgabe in der VORSCHAU einmal anzugucken, ob man tatsächlich die Aufgabe so dort sieht, wie sie erscheinen sollte!
Gruß,
Marcel
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Danke für dein wachsames Auge Angela. @Marcel: Ohoho.. wenn du wüsstest wie oft ich mir die Artikel in der Vorschau anzeigen lasse! Aber so ein paar kleine Quadrate kann man schon mal übersehen.
Grüße, kulli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:41 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo kulli,
> @Marcel: Ohoho..
> wenn du wüsstest wie oft ich mir die Artikel in der
> Vorschau anzeigen lasse! Aber so ein paar kleine Quadrate
> kann man schon mal übersehen.
na okay - das stimmt, aber dann halt für die Zukunft: Die gegebene Funktion dreimal prüfen, ob sie denn da so steht, wie sie stehen soll
Gruß,
Marcel
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