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Hallo zusammen.
Ich wollte mal fragen, ob wenn ich Prüfen soll ob etwas eine Gruppe bildet, alle Gruppengesetze existieren müssen, oder ob es reicht wenn einige Gruppengesetze existieren.
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> Ich wollte mal fragen, ob wenn ich Prüfen soll ob etwas
> eine Gruppe bildet, alle Gruppengesetze existieren müssen,
> oder ob es reicht wenn einige Gruppengesetze existieren.
Hallo,
na loggisch müssen alle gelten. Sonst wär's ja keine Gruppe.
Aber ich glaube, daß ich weiß, was Du meinst: die Prüfung, ob es sich um eine Untergruppe einer anderen Gruppe handelt.
Wenn Du eine Gruppe [mm] (G,\circ) [/mm] gegeben hast und eine Teilmenge [mm] U\subseteq [/mm] G, so reicht es, wenn Du prüfst, ob für alle u,v [mm] \in [/mm] U gilt [mm] u\circ v^{-1} \in [/mm] U. Genau dann, wenn das so ist, ist [mm] (U,\circ) [/mm] eine Untergruppe.
Gruß v. Angela
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Ja genau so meinte ich das eigentlich. Super dankeschön
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Ich hätte dann noch 5 Fragen zu den 5 Gruppengesetzen.
G1: Sagt im Prinzip aus, dass die Summe zweier ganzen Zahlen wieder eine ganze Zahl ergibt
G2: G2 ist das Assoziativgesetz. D.h. (a+b)+c=a+(b+c) bzw. (a*b)*c=a*(b*c)
G3: Es gibt ein Element das nichts beweirk (neutrales Element). Was ist dieses neutrale Element??? wäre das für eine Summe die Numm und für eine Multiplikation die 1??? Und wenn ja, dann würde dies doch auf so ziemlich alles zutreffen.
G4: es gibt zu jedem Element ein Spiegelbild (inverses Element). D.h. a+(-a)=0
G5: ist das Kommuntativgesetz. D.h. a+b=b+a bzw. a*b=b*a
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Schuldigung handelt sich nicht um 5 sondern im Prinzip nur um eine Frage! 
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Hallo DominicVandrey!
> G1: Sagt im Prinzip aus, dass die Summe zweier ganzen
> Zahlen wieder eine ganze Zahl ergibt
Habt ihr das wirklich konkret als Gruppenaxiom angegeben? Aber allgemein heißt das nicht das, was du sagst, sondern allgemein heißt das, dass die Verknüpfung zweier Elemente der Menge wieder ein Element der Menge ist. Wenn die Menge die Menge der ganzen Zahl ist, stimmt obiges, aber die Menge kann auch die Menge der rationalen Zahlen oder Sonstiges sein.
> G2: G2 ist das Assoziativgesetz. D.h. (a+b)+c=a+(b+c) bzw.
> (a*b)*c=a*(b*c)
Genau.
> G3: Es gibt ein Element das nichts beweirk (neutrales
> Element). Was ist dieses neutrale Element??? wäre das für
> eine Summe die Numm und für eine Multiplikation die 1???
In der aus der Schule bekannten Addition ist das in der Tat die 0 und in der ebendiesen Multiplikation die 1. Du kannst aber z. B. auch die Gruppe der [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen haben, da wäre dann bzgl. der Addition die Nullmatrix das neutrale Element und bzgl. der Multiplikation die [mm] $n\times [/mm] n$-Einheitsmatrix.
> Und wenn ja, dann würde dies doch auf so ziemlich alles
> zutreffen.
Das verstehe ich nicht. Das neutrale Element muss bei allen Gruppenelementen dasselbe bewirken, nämlich, wie du es sagst, nichts. Also für jedes Element g der Gruppe muss gelten: "g verknüpft mit dem neutralen Element bleibt g". Was genau meintest du?
> G4: es gibt zu jedem Element ein Spiegelbild (inverses
> Element). D.h. a+(-a)=0
Genau.
> G5: ist das Kommuntativgesetz. D.h. a+b=b+a bzw. a*b=b*a
Ja, aber dieses gilt nur für kommutative Gruppen. Z. B. ist die Gruppe der [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen für n>2 nicht mehr kommutativ.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Vielöen dank für die Antwort.
G1 sollte nur ein Beispiel sein was das z.B. heißen könnte.
Bei G3 meinte ich, dass wenn ich dieses Gesetz prüfe und dies z.B. für die Multiplikation von 1 tue, Müsste dieses gesetz insofern auf alles anwendbar sein, da ja alles a was ich mal 1 nehme gleich a ist. Es bewirkt wie schon gesagt nichts. Würde also demnach für jede Gruppe existieren.
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> Bei G3 meinte ich, dass wenn ich dieses Gesetz prüfe und
> dies z.B. für die Multiplikation von 1 tue, Müsste dieses
> gesetz insofern auf alles anwendbar sein, da ja alles a was
> ich mal 1 nehme gleich a ist. Es bewirkt wie schon gesagt
> nichts. Würde also demnach für jede Gruppe existieren.
Hallo,
solch ein neutrales Element existiert für jede Gruppe, aber es existiert nicht "demnach".
Sondern nur "das", was solch ein Element enthält, kann überhaupt nur eine Gruppe sein.
Die natürlichen Zahlen ohne die Null z.B. haben zusammen mit der gewöhnlichen Addition gar keine Chance: es gibt dort kein neutrales Element - aus der Traum von "Gruppe".
Gruß v. Angela
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gut soweit ist mir jetzt sehr gut weitergeholfen. Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich jetzt versuchen möchte dies anzuwenden.
Prüfen Sie, ob die Menge der ganzen Zahlen (also sowohl die negativen als auch die positiven ganzen Zahlen) mit der Verknüpfung a [mm] \circ [/mm] b=max [mm] (a,b)=\begin{Bmatrix}
a, wenn a \ge b \\
b, wenn a \le b
\end{Bmatrix} [/mm] eine Gruppe bildet.
G1: Die Verknüpfung zweier ganzer Zahlen ergibt wieder eine ganze Zahl. G1 stimmt also.
G2: Hierfür bräuchte ich noch ein c, welches ebenfalls eine ganze Zahl ist.
Hier weiß ich nicht so recht, wie ich das machen soll...
G3: Hier müsste ich ein neutrales Element suchen.
Aber auch hier bin ich überfordert.
G4: Hier müsste ich ein Inverses Element suchen.
Aber auch hier bin ich überfordert.
Irgendwie habe ich das Gefühl, ich verstehe die Gesetze, kann sie aber nicht so richtig anwenden. Gibt es eine Seite die soetwas ganz leicht erklärt??? Außer vielleicht wiki???
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Hallo Dominic!
> G1: Die Verknüpfung zweier ganzer Zahlen ergibt wieder eine
> ganze Zahl. G1 stimmt also.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> G2: Hierfür bräuchte ich noch ein c, welches ebenfalls eine
> ganze Zahl ist.
> Hier weiß ich nicht so recht, wie ich das machen soll...
[mm] $$(a\circ b)\circ [/mm] c \ = \ [mm] \max[\max(a,b),c] [/mm] \ = \ [mm] \max(a,b,c)$$
[/mm]
> G3: Hier müsste ich ein neutrales Element suchen.
> Aber auch hier bin ich überfordert.
Welches neutrale Element bzw. welche ganze Zahl ergibt denn wiederum die Ausgangszahl $a_$ ?
Bei der Menge der natürlichen Zahlen [mm] $\IN_0$ [/mm] wäre das ja die Zahl $0_$ . Gilt das nun auch für alle ganzen Zahlen [mm] $\IZ$ [/mm] ?
Gibt es also (genau) ein neutrales Element?
> G4: Hier müsste ich ein Inverses Element suchen.
> Aber auch hier bin ich überfordert.
Nun ja, kümmere Dich erstmal um G3 ...
Gruß vom
Roadrunner
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Gut also zu G2 hätte ich lediglich (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c=max(a,b)
und a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)=max((b,c) herausbekommen. Wie ich es weiterführen muss weiß ich leider nicht.
Zu G3: Da a und b Variablen sind und es in dieser Aufgabe um ganze Zahlen geht, könnte ich mir für a und b beliebige ganze Zahlen aussuchen. Da ich aber nicht weiß, in welchen beispielen ich die Addiditon, Subtraktion, Multiplikation oder Division anwende, kann ich nicht 100% sagen welches neutrales Element hier nun richtig wäre. Für die Addition und Subtraktion wäre dies 0 für die Multiplikation und Division 1. Ich denke aber mal, dass ich nur die Additionn und Multiplikation berücksichtigen darf.
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Hallo Dominic!
> Gut also zu G2 hätte ich lediglich (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm]
> c=max(a,b)
> und a [mm]\circ[/mm] (b [mm]\circ[/mm] c)=max((b,c) herausbekommen.
Lies Dir doch mal meine obige Antwort nochmal genau durch. Da hatte ich doch geschrieben, was z.B. für [mm] $(a\circ b)\circ [/mm] c$ herauskommt.
Anschaulich: wähle Dir drei beliebige ganze Zahlen $a_$ , $b_$ und $c_$ aus und nimm davon zunächst zwei $a_$ und $b_$ . Die größere der beiden ergibt einen konkreten Wert, vergleiche diesen nun mit dem dritten Wert $c_$ .
Das Ergebnis dieser drei Zahlen ist doch stets die größte dieser 3 Zahlen.
Und da sieht auch im Ergebnis nicht anders aus, wenn Du zunächst zwei andere der 3 Zahlen (z.B. $b_$ und $c_$ ) auswählst.
> Zu G3: Da a und b Variablen sind und es in dieser Aufgabe
> um ganze Zahlen geht, könnte ich mir für a und b beliebige
> ganze Zahlen aussuchen. Da ich aber nicht weiß, in welchen
> beispielen ich die Addiditon, Subtraktion, Multiplikation
> oder Division anwende, kann ich nicht 100% sagen welches
> neutrales Element hier nun richtig wäre. Für die Addition
> und Subtraktion wäre dies 0 für die Multiplikation und
> Division 1. Ich denke aber mal, dass ich nur die Additionn
> und Multiplikation berücksichtigen darf.
??? Was für eine Addition oder Multiplikation? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Diese Rechenarten kommen in der hier definierten Verknüpfung [mm] $a\circ [/mm] b \ := \ [mm] \max(a,b)$ [/mm] überhaupt nicht vor.
Denke Dir eine beliebige natürliche Zahl $a \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN_0$ [/mm] aus. Mit welcher Zahl verglichen, ist $a_$ im Bereich der natürlichen Zahlen immer die größere?
Klappt das nun auch im Bereich aller ganzen Zahlen [mm] $\IZ$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
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Also gut. Vielleicht liegt mein Problem dann eher bei dem Begriff der Verknüpfung. Was genau bedeutet er?
Für G3 habe ich inzwischen herausgefunden, dass das neutrale Element kleiner als die anderen Elemente sein müsste. Das geht aber nicht da es das bei den ganzen Zahlen nicht gibt. Somit haut auch G4 nicht hin!!
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> Also gut. Vielleicht liegt mein Problem dann eher bei dem
> Begriff der Verknüpfung. Was genau bedeutet er?
Hallo,
formal kannst du das ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
Ich sag' Dir's wischiwaschi: eine Vorschrift, wie man aus zwei Elementen ein dreittes gewinnt.
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> Für G3 habe ich inzwischen herausgefunden, dass das
> neutrale Element kleiner als die anderen Elemente sein
> müsste. Das geht aber nicht da es das bei den ganzen Zahlen
> nicht gibt. Somit haut auch G4 nicht hin!!
Und? Ist's nun eine Gruppe, oder eher nicht?
Gruß v. Angela
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Nun, da ja nicht alle Gesetze stimmen, nicht. Aber das ist auch das einfachste von allem am Ende!!
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Also gut das erste Gesetz ist eigentlich kein Problem mehr. Ich würde sagen, dass ich für das zweite, dritte, vierte und fünfte immer eine Gruppentafel erstelle, um mir das besser zu veranschaulichen. Stimmt ihr mir da zu???
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> Also gut das erste Gesetz ist eigentlich kein Problem mehr.
> Ich würde sagen, dass ich für das zweite, dritte, vierte
> und fünfte immer eine Gruppentafel erstelle, um mir das
> besser zu veranschaulichen. Stimmt ihr mir da zu???
Nein.
Ob man eine Gruppentafel macht, hängt doch sehr von der Größe der zu untersuchenden Menge ab.
Ich wollte keine Gruppentafel aufstellen müssen, um zu zeigen, daß die geraden ganzen Zahlen mit der Addition eine Gruppe bilden...
Gruß v. Angela
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