Häufungspunkte im R^2 < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Fr 15.06.2012 | | Autor: | ralpho |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei M folgende Teilmenge von $\mathbb{R}^2$ $ M:=\{(x,x):x\in(0,1)\}$. Ist die Menge offen, ist sie abgeschlossen in $\mathbb{R}^2$? Man bestimmte Häufungspunkte und Abschluss. Ist der Abschluss kompakt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Gut den ersten Teil konnte ich lösen. Die Folge $((1/n,1/n))_{n\in \mathbb{N}, n\ge 2$ konvergiert gegen (0,0). Somit ist die Menge offen.
Nun denke ich mir, die Menge der Häufungspunkte ist mit $ HP:=\{(x,x):x\in\[0,1\]\}$ gegeben. Ich weiß aber nicht recht wie ich das beweisen soll. Für (0,0) würde ich die obige Folge verwenden. Für (1,1) die Folge (1-1/n,1-1/n). Aber wie weise ich nach, dass es nicht mehr Häufungspunkte gibt? Im eindimensionalen fällt mir das leichter. Ich weiß nicht, wie ich hier einen "Abstand" zu einem beliebigen Punkt außerhalb kreieren soll, in dessen Umgebung keine weiterern Punkt liegt.
Danke
Ralph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Fr 15.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei M folgende Teilmenge von [mm]\mathbb{R}^2[/mm]
> [mm]M:=\{(x,x):x\in(0,1)\}[/mm]. Ist die Menge offen, ist sie
> abgeschlossen in [mm]\mathbb{R}^2[/mm]? Man bestimmte
> Häufungspunkte und Abschluss. Ist der Abschluss kompakt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> Gut den ersten Teil konnte ich lösen. Die Folge
> [mm]((1/n,1/n))_{n\in \mathbb{N}, n\ge 2[/mm] konvergiert gegen
> (0,0). Somit ist die Menge offen.
Was heißt "somit " ? Die Menge ist nicht offen !
> Nun denke ich mir, die Menge der Häufungspunkte ist mit
> [mm]HP:=\{(x,x):x\in\[0,1\]\}[/mm] gegeben.
Es gilt: [mm]HP:=\{(x,x):x\in[0,1]\}[/mm] !!
Sei [mm] t_0 \in [/mm] (0,1) und [mm] x_n:=(t_0-1/n,t_0-1/n)
[/mm]
Dann konvergiert [mm] (x_n) [/mm] gegen [mm] (t_0,t_0)
[/mm]
FRED
> Ich weiß aber nicht
> recht wie ich das beweisen soll. Für (0,0) würde ich die
> obige Folge verwenden. Für (1,1) die Folge (1-1/n,1-1/n).
> Aber wie weise ich nach, dass es nicht mehr Häufungspunkte
> gibt? Im eindimensionalen fällt mir das leichter. Ich
> weiß nicht, wie ich hier einen "Abstand" zu einem
> beliebigen Punkt außerhalb kreieren soll, in dessen
> Umgebung keine weiterern Punkt liegt.
>
> Danke
> Ralph
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Fr 15.06.2012 | | Autor: | ralpho |
Hallo,
Danke für deine Antwort. Ich bin hier dem irrtum aufgesessen, dass eine Menge wenn sie nicht abgeschlossen ist, offen ist. Dem ist ja nicht so. Mit der folge habe ich gezeigt, dass die Menge nicht abgeschlossen ist oder? Offen ist sie aber auch nicht, da es ja um eignetlich keinen Punkt eine epsylon-Kugel gibt, die Teilmenge von M ist. Richtig?
Beim zweiten Teil hab ich natürlich die von dir geschriebene Menge gemeint, war nur ein Tippfehler. Danke für deine Folge, die beweist mir jetzt, dass jeder Punkt in der Menge HP ist. Aber wie zeige ich, dass es keine weiteren geben kann? Ich würde verbald so argumentieren: Wenn ich einen beliebigen Punkt außerhalb meiner HP-Menge nehme, bestimmte ich den Abstand zum nähesten(!) Punkt meiner HP-Menge. Dann sehe ich, dass die Kugel um diesen beliebigen Punkt mit dem halbe Abstand geschnitten mit M keinen Punkt gemeinsam hat. Aber wie erfasse ich das mathematisch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Fr 15.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du einen Abstand in [mm] R^2 [/mm] berechnen kannst ist klar
Punkte(x+r,x+s) [mm] r\ne [/mm] s liegen nicht in M. für sonst bel. kleine r,s
deine Def. von abgeschlossen ist falsch! lies nach! (Verwechselung mit kompakt?
Gruss leduae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Sa 16.06.2012 | | Autor: | ralpho |
Ah ok, danke! mit dem (x+r,x+s) kann ich nun die Häufungspunkte argumentieren.
Zu abgeschlossen: In meinem Skriptum steht: Wir sagen eine Menge $A [mm] \sqsubseteq [/mm] X$ ist abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von A schon in A enthalten ist. Nun habe ich mir eben gedacht, dass (1/n,1/n) in M konvergiert, somit (0,0) ein HP ist, der aber nicht in M liegt? Ich glaube ich stehe am Schlauch.
Danke
Ralph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Sa 16.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich ist abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist. aber hier hast du mit den HP recht. du musst aber noch begründen , warum die menge nicht offen ist.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 16.06.2012 | | Autor: | ralpho |
Gut danke.
Naja ich finde ja eigentlich um keinen Punkt aus M eine epsilon-Kugel die ganz in M ist. Denn für beliebiges Epsilon, einen beliebigen Punkt (x,x) aus M, wähle ich den Punkt (x+e/2,x). Der liegt nicht in M, aber in der epsilon-Kugel um (x,x). Somit ist M nicht offen?
Um die anderen Fragen noch kurz zu beantworten: Der Abschluss ist dann einfach die Menge der Häufungspunkte, da es ja keine isolierten Punkte gibt. Dieser Abschluss ist kompakt, da er sowohl abgeschlossen, als auch beschränkt ist. Richtig so?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Sa 16.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu offen richtig, den Abschluß sollst du ja wohl angeben mit (x,x) [mm] x\in [/mm] [0,1] und beschränkt und abg = kompakt ist richtig.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Sa 16.06.2012 | | Autor: | ralpho |
Wunderbar. Dann ist ja alles soweit geklärt. Herzlichen Dank für die Hilfe!
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