Hochpunkt / Tiefpunkt beweisen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 So 23.01.2005 | | Autor: | Knaus |
Ich schreibe demnächst ne Matheklausur über Ableitungen, Verhalten Nullstellenbestimmung und dementsprechen auch über Hoch- Tief- und Wendepunktbestimmung.
Jetzt habe ich im Unterricht nicht so ganz aufgepasst und nicht mitbekommen wie ich - nach dem ich die x-Werte der Abl. errechnet habe - einen HP / TP belegen soll.
Ich kann zwar über den Taschenrechner sehen dass es sich um ein TP oder HP handelt aber wie begründe ich das rechnerisch??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wäre über eine schnelle Hilfe sehr erfreut
Greetz Knaus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:37 Mi 20.02.2008 | | Autor: | toti |
Hi
Noch eine Frage zu.Ich brauche eine Begründung warum ich den Beweis mit der zweiten Ableitung machen darf um zu bestimmen, ob meine Extremstelle einHP bzw tp ist.Dankeschön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo toti,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bitte keine Doppelpostings fabrizieren. Es reicht doch aus, wenn Deine Frage hier beantwortet wird.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo.
Kurz gesagt: ein Tiefpunkt liegt dann vor, wenn die 2.Ableitung an der Stelle x positiv ist, wenn sie negativ ist, liegt ein Hochpunkt vor.
Wenn sie 0 ist, mußt Du anderweitig verfahren.
Ich hoffe, das hilft dir schonmal etwas weiter, Du solltest dir aber unbedingt nochmal anschauen, warum das so ist!
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 So 23.01.2005 | | Autor: | Knaus |
>
> Kurz gesagt: ein Tiefpunkt liegt dann vor, wenn die
> 2.Ableitung an der Stelle x positiv ist, wenn sie negativ
> ist, liegt ein Hochpunkt vor.
> Wenn sie 0 ist, mußt Du anderweitig verfahren.
> Ich hoffe, das hilft dir schonmal etwas weiter.
Das muss nicht umbeding sein: ein HP / TP kann auch unterhalb der x Achse verlaufen und die Werte (x|y) können jeweils unterschiedliche Vorzeichen haben.
auf eins bin ich schon gestoßen: ein WP liegt immer zwischen zwei Extrempunkten. logisch oder? aber wie zum Kuckuck soll ich das mathematisch / rechnerisch begründen?!?!?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 So 23.01.2005 | | Autor: | Disap |
> >
> > Kurz gesagt: ein Tiefpunkt liegt dann vor, wenn die
> > 2.Ableitung an der Stelle x positiv ist, wenn sie negativ
>
> > ist, liegt ein Hochpunkt vor.
>
> > Wenn sie 0 ist, mußt Du anderweitig verfahren.
> > Ich hoffe, das hilft dir schonmal etwas weiter.
>
> Das muss nicht umbeding sein: ein HP / TP kann auch
> unterhalb der x Achse verlaufen und die Werte (x|y) können
> jeweils unterschiedliche Vorzeichen haben.
Das hast du falsch verstanden, denn Christian meinte damit, dass die zweite Ableitung (mit dem Extrema eingesetzt) größer oder kleiner Null sein muss. Ist es der Wert Null, so musst du ein anderes Verfahren benutzen => Vorzeichenwechsel.
Deswegen meine kleine Ergänzung => siehe Antwort II
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 So 23.01.2005 | | Autor: | Disap |
Auf deinen Kommentar: Ein Wendepunkt liegt immer zwischen zwei Extrema. Da kann ich so nicht zustimmen.
Erstens fehlt da, wenn überhaupt, dass ein Wendepunkt immer zwischen zwei Extrema bei ganzrationalen Funktionen liegt. Bei der E-Funktion wäre das ja nicht so.
Zudem liegt bei der Funktion
f(x) = [mm] \bruch{1}{8}x^4- \bruch{1}{2}x^3 [/mm]
der Wendepunkt ja nicht zwischen den Extrema.
Auf die schnelle habe ich für die Extrema [mm] x_{1}=3 [/mm] und [mm] x_{2,3}=0 [/mm] heraus.
Für die Wendepunkte wäre es hier [mm] x_{2}=2 [/mm] und [mm] x_{1}=0
[/mm]
(Evtl. Flüchtigkeitsfehler, kein Gewähr).
Also kann ich auf ganzer Linie widersprechen. Deine Aussage ist falsch.
Handelt es sich allerdings um eine Funktion 3. Grades oder um eine Parabel, so stimmt das. Bei einer Parabel ist das ja geschriebenes Gesetz, dass zwischen zwei Nullstellen das Extrema ganau in der Mitte liegt.
Nun lässt sich mit diesen Wissen Beweisen, dass eine Funktion dritten Grades mit zwei Extrema in der Mitte einen Wendepunkt hat.
Zeichnen wir eine Funktion, so wissen wir, dass in der gezeichneten Ableitungen die Extrema die Nullstellen sind und die Wendepunkte die Extrema.
leitet man dritten Gerades ab, so erhält man eine Funktion zweiten Gerades.
Extrema wird zur Nullstelle und Wendepunkt zum Extrema. D.h. auf den Satz von Oben bezogen gilt bei einer Funktion dritten Gerades mit zwei Extrema(Nullstellen in Ableitung)/2 = Wendepunkt(Extrema in der Ableitung).
Nun, das ist jetzt hier hingeschmiert, aber du solltest es dir selbst noch einmal in einer Zeichnung verdeutlichen.
LG Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 So 23.01.2005 | | Autor: | Knaus |
Ja genau das meinte ich das bei einer ganz rat. Fkt 3. Grades, die WP zwischen den Extrempunkten liegen.
In der Schule hatten wir die HP mit einem VZW (Vorzeichenwechsel) von + nach - begründet und einen TP von - nach +
aber als ich das in ner Arbeit schrieb war das nicht genug...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 So 23.01.2005 | | Autor: | Disap |
Hast'e den denn gezeigt?
Man prüft das Monotonieverhalten
also es gilt:
f'(x< [mm] x_{E}) [/mm] >0
f'(x> [mm] x_{E}) [/mm] <0
wäre eine Maximumstelle
und umgekehrt dann halt ein Minimum:
f'(x< [mm] x_{E}) [/mm] <0
f'(x> [mm] x_{E}) [/mm] >0
Man sagt dazu auch, f'(x) hat an der Stelle [mm] x_{E} [/mm] (in Büchern oft [mm] x_{0} [/mm] genannt) einen Vorzeichenwechsel (VZW) von + nach - oder einen von - nach +.
Nun ja, evtl. hast'e dich verrechnet oder dein Lehrer wollte etwas anderes sehen oder nicht sauber aufgeschrieben.
Vielleicht mag der Lehrer dich auch nicht und wollte dir einen reinwürgen. Kommt leider oft vor.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 So 23.01.2005 | | Autor: | Disap |
> Ich schreibe demnächst ne Matheklausur über Ableitungen,
> Verhalten Nullstellenbestimmung und dementsprechen auch
> über Hoch- Tief- und Wendepunktbestimmung.
Hoffentlich meinst du mit demnächst nicht morgen, ansonsten kann ich nur sagen: ganz böse.
Man fängt doch nicht auf dem letzten Drücker an.
> Jetzt habe ich im Unterricht nicht so ganz aufgepasst und
> nicht mitbekommen wie ich - nach dem ich die x-Werte der
> Abl. errechnet habe - einen HP / TP belegen soll.
Das macht man aber nicht.
> Ich kann zwar über den Taschenrechner sehen dass es sich um
> ein TP oder HP handelt aber wie begründe ich das
> rechnerisch??
>
Den X-Wert eines Extremas bekommt man über
f'(x) = 0
wird momentan generiert[mm] f''(x_{E}) \not= [/mm] 0
Beispiel
wird momentan generiert[mm] f(x)=x^3+x^2 [/mm]
wird momentan generiert[mm] f'(x)=3x^2+2x [/mm]
f''(x)=6x+2
f'(x) = 0 (notwendige Bedingung)
wird momentan generiert[mm] 3x^2+2x=0 [/mm]
x(3x+2) = 0
$ [mm] x_{1}= [/mm] $ 0 (Begründungen lasse ich hier mal weg, so auf die schnelle)
3x+2=0
3x = -2
$ [mm] x_{2} [/mm] $ = - $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $
wird momentan generiert[mm] f''(x_{E}\not= [/mm] 0 (hinreichende Bedingung)
Und nun setzt man die gefundenen X-extrema-werte ein => in die zweite Ableitung
f''(0)=6*0+2 > 0 => Tiefpunkt
Achja
wird momentan generiert[mm] f''(x_{E} [/mm] >0 => Tiefpunkt
wird momentan generiert[mm] f''(x_{E} [/mm] <0 => Hochpunkt
Für die Wendepunkte geht das nach dem selben Prinzip.
f''(x)= 0 (notwendig)
f''( wird momentan generiert[mm] x_{w} \not=0 [/mm] (hinreichend)
(Da gibts noch einen häßlichen Vorzeichenwechsel als hinreichende Bedingung, der eigentlich mehr Arbeit macht, kommt aber so in der Schule nicht vor. Da würden dir theoretisch drei Sachen bleiben:
1. Entweder du lässt es sein
2. Du fragst hier noch einmal nach
3. Du nimmst die Formelsammlung oder schlägst im Buch nach.
Wie gesagt, solche Sachen braucht man eigentlich für die Schule nicht)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wäre über eine schnelle Hilfe sehr erfreut
>
> Greetz Knaus
Das als Ergänzung, fand das von Christian19 knapp erklärt.
Nanu, hat hier etwa jemand meine Message gelöscht? Die war auf einmal weg :-/
Greetz Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 So 23.01.2005 | | Autor: | Knaus |
also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann läuft das folgendermaßen:
1. Ich bestimme die erste und zweite Ableitung von f(x)
2. Ich errechne die x-werte der ersten Abl.
3. setze die in die zweite ein. (Ergebnis größer > 0 -> TP; Ergebnis kleiner < 0 -> HP) (wenn gleich 0 dann über VZW )
4. den x- wert der ersten Abl in die ursprungsgleichung einsetzten und man erhällt den Punkt der Extrema.
Die WP brauche ich dann auch nicht mehr rechnerisch zu bestimmen, denn der liegt zwischen extrema und da reicht es ja im Grunde aus einfach nur hinzuschreiben das es ihn irgendwo gibt und die Koordinaten zu errechen.
Also wenn deine Antwort so stimmt - ich muss das erstmal ausgibig prüfen  - dann bin ich dir sehr dankbar, Disap!
Ich find seltsam das wir sowas nicht in der schule hatte, die einzige Begründung war eiben der VZW... oder ich habe den Rest verpennt.... (ich sollte wohl Tetris aufm Taschenrechner löschen *hehe*)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 So 23.01.2005 | | Autor: | Disap |
> also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann läuft
> das folgendermaßen:
>
> 1. Ich bestimme die erste und zweite Ableitung von f(x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn man eine Kurvendiskussion machen soll, dann sind Ableitungen immer sehr wichtig.
> 2. Ich errechne die x-werte der ersten Abl.
Genau, und diese bekommt man über f'(x) = 0
> 3. setze die in die zweite ein. (Ergebnis größer > 0 ->
> TP; Ergebnis kleiner < 0 -> HP)
Das ist natürlich doppelt gemoppelt jetzt, größer > ist ja das selbe, es hätte gereicht Ergebnis > 0 => Tiefpunkt
BSP: f''( [mm] x_{E})= [/mm] 1 >0 => TP
also
> (wenn gleich 0 dann über VZW )
Bei f(x) = [mm] x^4 [/mm] ist das Extrema ja Null
setzt man es bei f''(0) ein, bekommt man auch Null heraus und man hat trotzdem einen TP. Dann muss der VZW ran.
> 4. den x- wert der ersten Abl in die ursprungsgleichung
> einsetzten und man erhällt den Punkt der Extrema.
>
Ursprungsgleichung, da war doch mal etwas, da bin ich mir nicht 100% sicher, aber du meinst das richtige. Ich meine, eine Ursprungsfunktion ist etwas anderes als eine Ausgangsfunktion. Da will ich mich jetzt aber nicht zu weit aus dem Fenster lehnen.
Aber wir sprechen von f(x)
also auch richtig.
> Die WP brauche ich dann auch nicht mehr rechnerisch zu
> bestimmen, denn der liegt zwischen extrema und da reicht es
> ja im Grunde aus einfach nur hinzuschreiben das es ihn
> irgendwo gibt und die Koordinaten zu errechen.
>
> Also wenn deine Antwort so stimmt - ich muss das erstmal
> ausgibig prüfen - dann bin ich dir sehr dankbar,
> Disap!
Nun, das gilt natürlich nur so lange, wie die Funktion auch zwei Extrema hat.
> Ich find seltsam das wir sowas nicht in der schule hatte,
> die einzige Begründung war eiben der VZW... oder ich habe
> den Rest verpennt.... (ich sollte wohl Tetris aufm
> Taschenrechner löschen *hehe*)
>
Guter Vorschlag.
Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Knaus |
So ich ahbe jetzt alles geprüft und es scheint wirklich zu stimmen.
den trick mit dem Beweis der HP / TP merk ich mir jetzt!
Nun bin ich für die morgige Matheklausur bestens vorbereitet...
nein im ernst ich habe alles drauf Ableitungen und so.. Verhalten 0 stellen etc. nur den belge der HP / TP habe ich verpasst. aber dank dem Forum hier ist das alles nur ne Sache von Stunden...
danke Mann!!
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