Ideale in Faktorringen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Sa 17.11.2012 | | Autor: | diab91 |
Guten Abend,
ich möchte folgendes zeigen:
Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Sei I [mm] \subseteq [/mm] R ein Ideal. Sei K [mm] \subseteq [/mm] R/I ein Ideal von R/I. Dann gibt es ein Ideal J [mm] \subseteq [/mm] R von R, sodass gilt:
I [mm] \subset [/mm] J und K = J/I.
Folgendes habe ich versucht:
Sei A:= {J ist Ideal von R : I [mm] \subset [/mm] J [mm] \} [/mm] und B:= { K ist Ideal von R/I [mm] \}. [/mm] Nun habe ich versucht eine Bijektion der Form f: A [mm] \to [/mm] B, J [mm] \mapsto [/mm] f(J) = { r + I : r [mm] \in [/mm] J} zu finden.
Die Injektivität ist dann klar, denn f(J1) = f(J2) [mm] \gdw [/mm] J1 + I = J2 + I [mm] \Rightarrow [/mm] J1 = J2.
Ist das soweit in Ordnung? Nun fehlt mir aber die Surjektivität.
Sei also K ein Ideal von R/J. Wie kann ich nun zeigen, dass es ein Ideal [mm] J_K [/mm] gibt mit [mm] f(J_K) [/mm] = K ? Stimmt das bis jetzt überhaupt was ich gemacht habe?
Liebe Grüße,
Diab91
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:32 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo diab91,
> Sei A:= $\{$J ist Ideal von R : I [mm]\subset[/mm] J [mm]\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und B:= $\{$ K ist
> Ideal von R/I [mm]\}.[/mm] Nun habe ich versucht eine Bijektion der
> Form f: A [mm]\to[/mm] B, J [mm]\mapsto[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(J) = $\{$ r + I : r [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
J$\}$ zu
> finden.
(Ist f wohldefiniert, d.h. ist $\{$ r + I : r [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
J$\}\in B$ für alle $J\in A$?)
Wegen $f(J)=J/I$ für alle $J\in A$ ist die Surjektivität dieser Abbildung gleichbedeutend mit der zu zeigenden Behauptung.
Die Injektivität ist eine schöne weitere Aussage, die in der Aufgabenstellung gar nicht gefordert ist.
> Die Injektivität ist dann klar, denn f(J1) = f(J2) [mm]\gdw[/mm]
> J1 + I = J2 + I [mm]\Rightarrow[/mm] J1 = J2.
> Ist das soweit in Ordnung?
Die entscheidende Implikation von [mm] $J_1+I=J_2+I$ [/mm] nach [mm] $J_1=J_2$ [/mm] hast du nicht begründet. Hier geht ein, dass [mm] $J_1,J_2\supseteq [/mm] I$ gilt und dass [mm] $J_1,J_2$ [/mm] abgeschlossen unter der Addition sind.
> Nun fehlt mir aber die
> Surjektivität.
> Sei also K ein Ideal von R/J. Wie kann ich nun zeigen, dass
> es ein Ideal [mm]J_K[/mm] gibt mit [mm]f(J_K)[/mm] = K ?
Betrachte mal [mm] $J_K:=\{r\in R\;|\;r+I\in K\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Sa 17.11.2012 | | Autor: | diab91 |
Hallo Tobias,
die Wohldefiniertheit hatte ich ganz vergessen! Vielen Dank das du mich daran erinnerst.
Wohldefinierheit: Sei J [mm] \in [/mm] A beliebig. Zeige: f(J) [mm] \in [/mm] B d.h f(J) ist ein Ideal von K/I.
(I1): Da J ein Element aus A [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] J [mm] \Rightarrow [/mm] 0 + I = I [mm] \in [/mm] f(J). Somit ist das Nullideal I von K/I in J.
(I2): Seien r1+I, r2+I [mm] \in [/mm] f(J) [mm] \Rightarrow [/mm] (r1+I)+(r2+I) = (r1+r2)+I [mm] \in [/mm] f(J).
(I3): Sei a + I [mm] \in [/mm] R/I [mm] \Rightarrow [/mm] (a+I)(r1+I) = ar1+I [mm] \in [/mm] J/I da ar1 [mm] \in [/mm] J.
Somit ist f(J) ein Ideal von K/J und damit f wohldefiniert.
Nun zur Injektivität:
Sei J1+I = J2+I. Sei x [mm] \in [/mm] J1, Dann lässt sich x in der Form x = r1+i für ein r1 [mm] \in [/mm] J1 und i [mm] \in [/mm] I schreiben. Das ist möglich da 0 [mm] \in [/mm] I. Dann folgt: x [mm] \in [/mm] J1+I = J2+I [mm] \subset [/mm] J2.
Somit gilt J1 [mm] \subset [/mm] J2. Analog zeigt man dann J2 [mm] \subset [/mm] J1. Damit ist dann die Injektivität gezeigt.
Nun zur Surjektivität:
Als erstes habe ich gezeigt das [mm] J_K \in [/mm] A. Also wie oben Idealaxiome nachgewiesen. Desweiteren ist I [mm] \subset J_K, [/mm] da I abgeschlossen ist bzgl. der Addition und I ist das Nullideal in R/I liegt also auch in K.
[mm] f(J_K) [/mm] = { r+I: r [mm] \in J_K \} [/mm] = {r+I : r + I [mm] \in [/mm] K} = K.
Ist das so richtig? Vielen, vielen Dank für deine Hilfe schon mal.
Liebe Grüße,
Diab91
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 17.11.2012 | | Autor: | diab91 |
[mm] J_2 [/mm] + I [mm] \subset J_2 [/mm] gilt, da I [mm] \subset J_2 [/mm] und [mm] J_2 [/mm] additiv abgeschlossen ist.
I [mm] \subset J_K [/mm] = { r [mm] \in [/mm] R: r+I [mm] \in [/mm] K [mm] \} [/mm] gilt, da I [mm] \subset [/mm] R und für alle i [mm] \in [/mm] I: i + I = I [mm] \in [/mm] K.
Gilt die Gleichheit {r+I: r [mm] \in J_K \} [/mm] = {r+I: r+I [mm] \in [/mm] K [mm] \} [/mm] nicht einfach nach Definition von [mm] J_K?
[/mm]
Wenn r [mm] \in J_K [/mm] so gilt doch per Definition r + I [mm] \in [/mm] K. Also müssten die Mengen gerade deshalb schon gleich sein. Oder vertue ich mich da?
Noch was anderes... Was ist das Nullideal in z.B R/I? Das Nullelement ist ja I. Ist das durch I erzeugt Ideal nicht wieder selbst I ? Also <I> = I?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Sa 17.11.2012 | | Autor: | diab91 |
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und umgekehrt. Vielleicht war ich hier etwas
> kleinlich...
Das tut mir nur gut. Ich neige manchmal dazu nicht genug ins Detail zu gehen.
> > Noch was anderes... Was ist das Nullideal in z.B R/I? Das
> > Nullelement ist ja I. Ist das durch I erzeugt Ideal nicht
> > wieder selbst I ? Also <I> = I?
> Es gilt [mm]\langle I\rangle = \{I\}\not=I[/mm].
Ah ok.
Dann vielen Dank für dein Hilfe und Mühe. Da habe ich mal wieder viel neues gelernt. Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > > Noch was anderes... Was ist das Nullideal in z.B R/I? Das
> > > Nullelement ist ja I. Ist das durch I erzeugt Ideal nicht
> > > wieder selbst I ? Also <I> = I?
> > Es gilt [mm]\langle I\rangle = \{I\}\not=I[/mm].
Mir fällt gerade auf: Das war so nicht sauber von mir.
Das von I erzeugte Ideal im Ring R ist tatsächlich I selbst.
Das Nullideal im Ring $R/I$ lautet dagegen [mm] $\{I\}$.
[/mm]
Man sollte dafür nicht [mm] $\langle I\rangle$ [/mm] schreiben, wie ich das getan habe, sondern entweder $(I)$ (für das von I erzeugte Hauptideal) oder [mm] $\langle\{I\}\rangle=\{I\}$.
[/mm]
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
