Induzierte Teilraumtopologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei (X, d) ein metrischer Raum und [mm] A\subset [/mm] X. Dann ist die Teilraumtopologie [mm] O_A [/mm] durch die Metrik d auf A induziert. |
Hallo zusammen. Die Metrik d induziert ja eine Topologie O(d), in der alle Mengen sind, die bezüglich der Metrik d offen sind.
Wenn ich jetzt eine Teilmenge [mm] A\subset [/mm] X nehme, kann ich ja die Metrik d einschränken auf Punkte x, y aus A. Also auf all die Punkte, die man durch das kartesische Produkt von [mm] A\times A[/mm] erhält. Dann kann ich ja eine Kugel (kann ich ja hier sagen, weil ich in einem metrischen Raum bin oder?) in A darstellen, als den Schnitt einer Kugel in X mit A.
Also ist eine Kugel in A genau dann offen, wenn es eine offene Kugel in X gibt, s.d. der Schnitt mit dieser offenen Kugel und A offen ist. (wenn ich offen sage, dann mein ich immer offen bezüglich der Metrik d)
Dann könnte ich jetzt die Teilraumtopologie [mm] O_A [/mm] so beschreiben: [mm] O_A=\{U\cap A| U\in O(d)\} [/mm]
Und jetzt?! Das ist eben einfach so.. was soll man denn da noch zeigen?
Oder muss ich jetzt die Axiome eines Topologischen Raums in der Teilraumtopologie nachweisen?
Mfg, kullinarisch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (X, d) ein metrischer Raum und [mm]A\subset[/mm] X. Dann ist die
> Teilraumtopologie [mm]O_A[/mm] durch die Metrik d auf A induziert.
> Hallo zusammen. Die Metrik d induziert ja eine Topologie
> O(d), in der alle Mengen sind, die bezüglich der Metrik d
> offen sind.
>
> Wenn ich jetzt eine Teilmenge [mm]A\subset[/mm] X nehme, kann ich ja
> die Metrik d einschränken auf Punkte x, y aus A. Also auf
> all die Punkte, die man durch das kartesische Produkt von
> [mm]A\times A[/mm] erhält. Dann kann ich ja eine Kugel (kann ich ja
> hier sagen, weil ich in einem metrischen Raum bin oder?) in
> A darstellen, als den Schnitt einer Kugel in X mit A.
> Also ist eine Kugel in A genau dann offen, wenn es eine
> offene Kugel in X gibt, s.d. der Schnitt mit dieser offenen
> Kugel und A offen ist. (wenn ich offen sage, dann mein ich
> immer offen bezüglich der Metrik d)
>
> Dann könnte ich jetzt die Teilraumtopologie [mm]O_A[/mm] so
> beschreiben: [mm]O_A=\{U\cap A| U\in O(d)\}[/mm]
>
> Und jetzt?! Das ist eben einfach so.. was soll man denn da
> noch zeigen?
in einem metrischen Raum [mm] $(X,d)\,$ [/mm] induziert ja die Metrik [mm] $d\,$ [/mm] eine Topologie, nennen wir sie mal [mm] $\tau_d\,:$
[/mm]
Es ist [mm] $\tau_d=\{O \subseteq X: \; O \text{ ist }d\,\text{-offen}\}\,.$
[/mm]
Du hast jetzt beschrieben, wie man "topologisch" auf $A [mm] \subseteq [/mm] X$ eine Topologie bekommt: Wenn [mm] $(X,\tau)\,$ [/mm] ein topologischer Raum ist, ist für $A [mm] \subseteq [/mm] X$ dann [mm] $(A,\tau_A)$ [/mm] ein topologischer Raum, wobei
[mm] $$\tau_A:=\{T \cap A: T \in \tau\}$$
[/mm]
ist.
Wir setzen nun mal [mm] $\tau_1:=\{T \cap A: T \in \tau_d\}\,.$ [/mm] Okay?
(Denn oben hast Du dann speziell [mm] $\tau=\tau_d$ [/mm] - die durch [mm] $d\,$ [/mm] induzierte Topologie, gewählt bzw. zu wählen gehabt!)
Nun nochmal zurück in metrische Räume:
Es ist [mm] $d\,$ [/mm] eigentlich eine Abbildung $d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR\,.$ [/mm] Nun ist für $A [mm] \subseteq [/mm] X$ mit [mm] $(A,d_A)$ [/mm] doch auch ein metrischer Raum gegeben, wobei [mm] $d_A:=d_{|A \times A}$ [/mm] ist (man "schränkt 'die Metrik auf [mm] $X\,$' [/mm] ein auf [mm] $A\,,$ [/mm] kurzgesagt, und mathematisch nicht ganz so schön ausgedrückt"). Okay?
Dieser metrische Raum [mm] $(A,d_A)$ [/mm] induziert seinerseits durch die Metrik [mm] $d_A$ [/mm] eine Topologie:
Und zwar ist [mm] $(A,\tau_{d_A})$ [/mm] ein topologischer Raum, wobei
[mm] $$\tau_{d_A}=\{P \subseteq A: P \text{ ist }d_A\text{-offen}\}\,.$$
[/mm]
Soweit okay?
Ich schreibe nun [mm] $\tau_2:=\tau_{d_A}\,.$
[/mm]
Und die Aussage in der Aufgabe, die es nun zu beweisen gilt, ist, dass gilt:
[mm] $$\tau_1=\tau_2\,.$$
[/mm]
Also nochmal zusammenfassend:
Wir gehen davon aus, dass [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum ist. [mm] $(X,\tau_d)$ [/mm] ist dann ein topologischer Raum.
1.) Für $A [mm] \subseteq [/mm] X$ beschreibt [mm] $\tau_1$ [/mm] eine Topologie auf [mm] $A\,.$ [/mm] (Das heißt: [mm] $\tau_1$ [/mm] ist die Teilraumtopologie - das ist eine Topologie auf [mm] $A\,.$)
[/mm]
2.) Für $A [mm] \subseteq [/mm] X$ bekommen wir durch [mm] $d_A:=d_{|A \times A}$ [/mm] auch den metrischen Raum [mm] $(A,d_A)\,.$ [/mm] Die Metrik [mm] $d_A\,$ [/mm] ihrerseits induziert nun eine Topologie [mm] $\tau_2$ [/mm] auf [mm] $A\,.$
[/mm]
(Das heißt: [mm] $\tau_2$ [/mm] ist die Topologie, die durch die Metrik [mm] $d_A$ [/mm] induziert wird: Insbesondere ist auch [mm] $\tau_2$ [/mm] eine Topologie auf [mm] $A\,.$)
[/mm]
Die zu beweisende Aussage ist nun: Die Teilraumtopologie [mm] $\tau_1$ [/mm] ist nichts anderes als "die Topologie, durch die auf [mm] $A\,$ [/mm] eingeschränkte Metrik induziert wird" - also [mm] $=\tau_2\,.$
[/mm]
Zeige also:
Es gelten sowohl [mm] $\tau_1 \subseteq \tau_2$ [/mm] als auch [mm] $\tau_2 \subseteq \tau_1\,,$ [/mm] und Du bist fertig!
P.S.
Das Ergebnis der obigen Aussage ist:
Wenn man einen metrischen Raum [mm] $(X,d)\,$ [/mm] hat und es ist $A [mm] \subseteq X\,,$ [/mm] und wenn [mm] $\tau_d$ [/mm] die durch [mm] $d\,$ [/mm] induzierte Metrik ist:
Um eine Topologie auf [mm] $A\,$ [/mm] zu bekommen, kann man erst die Metrik auf [mm] $A\,$ [/mm] einschränken und mit dieser eingeschränkten Metrik eine durch diese eingeschränkte Metrik induzierte Topologie auf [mm] $A\,$ [/mm] bekommen.
Die gleiche bekommt man aber auch, wenn man einfach "die obige Teilraumtopologie bildet".
Man kann sozusagen auf zwei Wegen die gleiche Topologie auf [mm] $A\,$ [/mm] konstruieren!
Gruß,
Marcel
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Danke Marcel, das ist schon mal eine große Hilfe. Ich bin mir nur noch nicht sicher ob die eine Richtung des Beweises so richtig ist:
Also hier die 2 Topologien, deren Gleichheit zu zeigen ist:
[mm] T_1=\{T\cap A| T\in T_d\}
[/mm]
[mm] T_2=\{P\subset A|P\in T_{d_A}\}
[/mm]
mit [mm] T_d: [/mm] die bezüglich d offenen Mengen und
[mm] T_{d_A} [/mm] die bezüglich [mm] d_A [/mm] offenen Mengen
Es geht um die Richtung [mm] T_1\subset T_2:
[/mm]
Sei [mm] M\in T_1
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] T\in T_d [/mm] s.d. [mm] M=T\cap [/mm] A. Sei [mm] x\in [/mm] M. Da M offen ist gibt es ein [mm] \epsilon>0 [/mm] und eine offene Umgebung [mm] B_{\epsilon}(x)=\{a\in M| d(a, x)<\epsilon\}\subset [/mm] M. Sei [mm] K_{\epsilon}(x)=\{b\in X| d(b, x)<\epsilon\}\subset [/mm] U
Dann ist [mm] B_{\epsilon}(x)=K_{\epsilon}(x)\cap A\subset (T\cap [/mm] A)
Damit gibt es doch zu jedem x aus M eine offene Umgebung, die dann in A liegt oder?! Dann ist die Vereinigung dieser offenen Mengen auch offen und gleich M und liegt in A, was man ja zeigen musste. Ist das so richtig?
Mfg, kullinarisch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 So 20.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke Marcel, das ist schon mal eine große Hilfe. Ich bin
> mir nur noch nicht sicher ob die eine Richtung des Beweises
> so richtig ist:
>
> Also hier die 2 Topologien, deren Gleichheit zu zeigen
> ist:
>
> [mm]T_1=\{T\cap A| T\in T_d\}[/mm]
>
> [mm]T_2=\{P\subset A|P\in T_{d_A}\}[/mm]
>
> mit [mm]T_d:[/mm] die bezüglich d offenen Mengen und
> [mm]T_{d_A}[/mm] die bezüglich [mm]d_A[/mm] offenen Mengen
>
> Es geht um die Richtung [mm]T_1\subset T_2:[/mm]
>
> Sei [mm]M\in T_1[/mm]
>
> Dann gibt es ein [mm]T\in T_d[/mm] s.d. [mm]M=T\cap[/mm] A. Sei [mm]x\in[/mm] M. Da M
> offen ist gibt es ein [mm]\epsilon>0[/mm] und eine offene Umgebung
> [mm]B_{\epsilon(x)}=\{a\in M| d(a, x)<\epsilon(x)\}\subset[/mm] M.
ich mache hier mal einen Break - denn hier wird's falsch:
Vorsicht: Was heißt denn hier, dass [mm] $M\,$ [/mm] offen ist? Offenheit heißt nichts anderes, als dass $M [mm] \in T_1\,.$ [/mm] Wenn Du eine "Metrik-Offenheit-Eigenschaft" benutzen willst, dann musst Du Dir klar machen, dass diese erstmal nur bzgl. [mm] $d\,$ [/mm] in der Menge $T [mm] \in T_d$ [/mm] gilt (ich hätte nach wie vor lieber die Topologien mit [mm] $\tau$ [/mm] bezeichnet - dann ist man weniger verwirrt, wann da eine Menge und wann da ein Mengensystem steht - aber bleiben wir nun bei Deinen Notationen).
Also: Du hast $M [mm] \in T_1$ [/mm] in der Darstellung $M=T [mm] \cap [/mm] A$ mit $T [mm] \in T_d\,.$ [/mm] Nun nimmst Du ein $x [mm] \in [/mm] M$ her:
Weil $x [mm] \in [/mm] (T [mm] \cap [/mm] A)$ ist, folgt insbesondere, dass es zu diesem $x [mm] \in [/mm] M$ ein [mm] $\epsilon(x) [/mm] > 0$ so gibt, dass [mm] $B_{\epsilon(x)}^d(x):=\{y \in X:\;d(y,x) < \epsilon(x)\} \subseteq T\,.$ [/mm] (Das "hoch [mm] $d\,$" [/mm] soll nur andeuten, bzgl. welcher Metrik wir die offene [mm] $\epsilon(x)$-Umgebung [/mm] haben!)
Bekanntlich ist aber [mm] $B^d_{\epsilon(x)}(x) \in T_d\,.$ [/mm] Damit ist auch [mm] $(B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap [/mm] A) [mm] \in T_1\,.$
[/mm]
Und jetzt betrachten wir
[mm] $$B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x):=\{a \in A: \overbrace{d_A(x,a)}^{=d(x,a)} < \epsilon(x)\}\,.$$
[/mm]
A) Wie ist der Zusammenhang zwischen [mm] $B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x)$ [/mm] und [mm] $(B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A)\,$?
[/mm]
Warum gilt [mm] $B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x) \in T_2$?
[/mm]
Und nun geht's so weiter, wie Du das, denke ich, auch machen wolltest:
Mithilfe der obigen Überlegungen können wir schreiben
[mm] $$M=\bigcup_{x \in M}(B^{d}_{\epsilon(x)}(x) \cap A)\,.$$
[/mm]
Wenn Du nun die Frage A) beantwortet hast, setzt Du das einfach entsprechend ein und bist fertig. (Beachte: Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen.)
P.S.
Eigentlich haben wir oben sogar zuviel gemacht, ich kann Dir auch den Beweis kürzer machen:
Um [mm] $T_1 \subseteq T_2$ [/mm] einzusehen, haben wir ja nur folgendes zu zeigen:
Ist $M [mm] \in T_1$ [/mm] und $x [mm] \in [/mm] M$ beliebig, so haben wir zu zeigen, dass es dann ein [mm] $\epsilon(x) [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] so gibt, dass [mm] $B_{\epsilon(x)}^{d_A}(x):=\{a \in A:\;d_A(a,x) < \epsilon(x)\}=\{a \in A:\;d(a,x) < \epsilon(x)\} \subseteq [/mm] M$ gilt - und wegen $M [mm] \in T_1$ [/mm] ist ja $M [mm] \subseteq [/mm] A$ klar. Ferner ist [mm] $T_{d_A}$ [/mm] ja eben so definiert, dass genau diese Eigenschaft die Mengen in [mm] $T_{d_A}$ [/mm] charakterisiert.
Nun siehst Du, dass wir eigentlich nur oben ein zu dem $x [mm] \in [/mm] T$ passendes [mm] $\epsilon(x) [/mm] > 0$ wählen brauchen, so dass [mm] $B^d_{\epsilon(x)}(x)=\{y \in X:\;d(y,x)< \epsilon(x)\} \subseteq [/mm] T$ gilt. Denn wenn du Frage A) beantwortet hast, dann bildest Du noch [mm] $B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A\,,$ [/mm] begründest kurz, warum nun [mm] $(B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap [/mm] A) [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt und bist, weil $x [mm] \in [/mm] M$ beliebig war, fertig.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Danke Marcel, das ist schon mal eine große Hilfe. Ich bin
> > mir nur noch nicht sicher ob die eine Richtung des Beweises
> > so richtig ist:
> >
> > Also hier die 2 Topologien, deren Gleichheit zu zeigen
> > ist:
> >
> > [mm]T_1=\{T\cap A| T\in T_d\}[/mm]
> >
> > [mm]T_2=\{P\subset A|P\in T_{d_A}\}[/mm]
> >
> > mit [mm]T_d:[/mm] die bezüglich d offenen Mengen und
> > [mm]T_{d_A}[/mm] die bezüglich [mm]d_A[/mm] offenen Mengen
> >
> > Es geht um die Richtung [mm]T_1\subset T_2:[/mm]
> >
> > Sei [mm]M\in T_1[/mm]
> >
> > Dann gibt es ein [mm]T\in T_d[/mm] s.d. [mm]M=T\cap[/mm] A. Sei [mm]x\in[/mm] M. Da M
> > offen ist gibt es ein [mm]\epsilon>0[/mm] und eine offene Umgebung
> > [mm]B_{\epsilon(x)}=\{a\in M| d(a, x)<\epsilon(x)\}\subset[/mm] M.
>
> ich mache hier mal einen Break - denn hier wird's falsch:
> Vorsicht: Was heißt denn hier, dass [mm]M\,[/mm] offen ist?
> Offenheit heißt nichts anderes, als dass [mm]M \in T_1\,.[/mm] Wenn
> Du eine "Metrik-Offenheit-Eigenschaft" benutzen willst,
> dann musst Du Dir klar machen, dass diese erstmal nur bzgl.
> [mm]d\,[/mm] in der Menge [mm]T \in T_d[/mm] gilt (ich hätte nach wie vor
> lieber die Topologien mit [mm]\tau[/mm] bezeichnet - dann ist man
> weniger verwirrt, wann da eine Menge und wann da ein
> Mengensystem steht - aber bleiben wir nun bei Deinen
> Notationen).
>
> Also: Du hast [mm]M \in T_1[/mm] in der Darstellung [mm]M=T \cap A[/mm] mit [mm]T \in T_d\,.[/mm]
> Nun nimmst Du ein [mm]x \in M[/mm] her:
> Weil [mm]x \in (T \cap A)[/mm] ist, folgt insbesondere, dass es zu
> diesem [mm]x \in M[/mm] ein [mm]\epsilon(x) > 0[/mm] so gibt, dass
> [mm]B_{\epsilon(x)}^d(x):=\{y \in X:\;d(y,x) < \epsilon(x)\} \subseteq T\,.[/mm]
> (Das "hoch [mm]d\,[/mm]" soll nur andeuten, bzgl. welcher Metrik wir
> die offene [mm]\epsilon(x)[/mm]-Umgebung haben!)
> Bekanntlich ist aber [mm]B^d_{\epsilon(x)}(x) \in T_d\,.[/mm] Damit
> ist auch [mm](B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A) \in T_1\,.[/mm]
>
> Und jetzt betrachten wir
> [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x):=\{a \in A: \overbrace{d_A(x,a)}^{=d(x,a)} < \epsilon(x)\}\,.[/mm]
>
> A) Wie ist der Zusammenhang zwischen
> [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x)[/mm] und [mm](B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A)\,[/mm]?
Die sind doch identisch oder? Also [mm] B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x)[/mm])=[mm] B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A\,[/mm]
Das ist das was ich eigentlich zeigen wollte, ich wusste nur nicht genau wie und habe das etwas unverständlich (oder auch falsch) dargestellt.
> Warum gilt [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x) \in T_2[/mm]?
Weil [mm] B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x) [/mm] ja eine bezüglich [mm] d_A [/mm] offene Menge ist und das sind ja gerade die Elemente von [mm] T_2.
[/mm]
> Und nun geht's so weiter, wie Du das, denke ich, auch
> machen wolltest:
> Mithilfe der obigen Überlegungen können wir schreiben
> [mm]M=\bigcup_{x \in M}(B^{d}_{\epsilon(x)}(x) \cap A)\,.[/mm]
>
> Wenn Du nun die Frage A) beantwortet hast, setzt Du das
> einfach entsprechend ein und bist fertig. (Beachte:
> Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen.)
>
> P.S.
> Eigentlich haben wir oben sogar zuviel gemacht, ich kann
> Dir auch den Beweis kürzer machen:
> Um [mm]T_1 \subseteq T_2[/mm] einzusehen, haben wir ja nur
> folgendes zu zeigen:
> Ist [mm]M \in T_1[/mm] und [mm]x \in M[/mm] beliebig, so haben wir zu
> zeigen, dass es dann ein [mm]\epsilon(x) > 0\,[/mm] so gibt, dass
> [mm]B_{\epsilon(x)}^{d_A}(x):=\{a \in A:\;d_A(a,x) < \epsilon(x)\}=\{a \in A:\;d(a,x) < \epsilon(x)\} \subseteq M[/mm]
> gilt - und wegen [mm]M \in T_1[/mm] ist ja [mm]M \subseteq A[/mm] klar.
> Ferner ist [mm]T_{d_A}[/mm] ja eben so definiert, dass genau diese
> Eigenschaft die Mengen in [mm]T_{d_A}[/mm] charakterisiert.
>
> Nun siehst Du, dass wir eigentlich nur oben ein zu dem [mm]x \in T[/mm]
> passendes [mm]\epsilon(x) > 0[/mm] wählen brauchen, so dass
> [mm]B^d_{\epsilon(x)}(x)=\{y \in X:\;d(y,x)< \epsilon(x)\} \subseteq T[/mm]
> gilt. Denn wenn du Frage A) beantwortet hast, dann bildest
> Du noch [mm]B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A\,,[/mm] begründest kurz,
> warum nun [mm](B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A) \subseteq M[/mm] gilt
> und bist, weil [mm]x \in M[/mm] beliebig war, fertig.
Puh! Ich freu mich immer tierisch über deine wirklich gut verständlichen Antworten und deine Mühe, 1000 Dank dafür! Jetzt muss ich es nur noch richtig aufschreiben, aber das sollte jetzt kein Problem mehr sein!
Grüße, kulli
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 20.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > A) Wie ist der Zusammenhang zwischen
> > [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x)[/mm] und [mm](B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A)\,[/mm]?
>
>
>
> Die sind doch identisch oder? Also
> [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x)[/mm])=[mm] B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A\,[/mm]
genau!
> Das ist das was ich eigentlich zeigen wollte, ich wusste
> nur nicht genau wie und habe das etwas unverständlich
> (oder auch falsch) dargestellt.
Du hattest am Anfang direkt das, worauf Du hinaus wolltest, hingeschrieben, als wenn sofort klar wäre, dass das so ist.
> > Warum gilt [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x) \in T_2[/mm]?
>
> Weil [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x)[/mm] ja eine bezüglich [mm]d_A[/mm] offene
> Menge ist und das sind ja gerade die Elemente von [mm]T_2.[/mm]
Ja. Genauer: In JEDEM metrischen Raum [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ist ja [mm] $B_\epsilon(x):=\{y \in X:\;d(y,x) < \epsilon\}$ [/mm] offen:
Das ist zwar nicht schwer einzusehen, aber man sollte es beweisen können. Kennst Du den/einen Beweis dafür?
> > Und nun geht's so weiter, wie Du das, denke ich, auch
> > machen wolltest:
> > Mithilfe der obigen Überlegungen können wir
> schreiben
> > [mm]M=\bigcup_{x \in M}(B^{d}_{\epsilon(x)}(x) \cap A)\,.[/mm]
>
> >
> > Wenn Du nun die Frage A) beantwortet hast, setzt Du das
> > einfach entsprechend ein und bist fertig. (Beachte:
> > Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen.)
> >
> > P.S.
> > Eigentlich haben wir oben sogar zuviel gemacht, ich
> kann
> > Dir auch den Beweis kürzer machen:
> > Um [mm]T_1 \subseteq T_2[/mm] einzusehen, haben wir ja nur
> > folgendes zu zeigen:
> > Ist [mm]M \in T_1[/mm] und [mm]x \in M[/mm] beliebig, so haben wir zu
> > zeigen, dass es dann ein [mm]\epsilon(x) > 0\,[/mm] so gibt, dass
> > [mm]B_{\epsilon(x)}^{d_A}(x):=\{a \in A:\;d_A(a,x) < \epsilon(x)\}=\{a \in A:\;d(a,x) < \epsilon(x)\} \subseteq M[/mm]
> > gilt - und wegen [mm]M \in T_1[/mm] ist ja [mm]M \subseteq A[/mm] klar.
> > Ferner ist [mm]T_{d_A}[/mm] ja eben so definiert, dass genau diese
> > Eigenschaft die Mengen in [mm]T_{d_A}[/mm] charakterisiert.
> >
> > Nun siehst Du, dass wir eigentlich nur oben ein zu dem [mm]x \in T[/mm]
> > passendes [mm]\epsilon(x) > 0[/mm] wählen brauchen, so dass
> > [mm]B^d_{\epsilon(x)}(x)=\{y \in X:\;d(y,x)< \epsilon(x)\} \subseteq T[/mm]
> > gilt. Denn wenn du Frage A) beantwortet hast, dann bildest
> > Du noch [mm]B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A\,,[/mm] begründest kurz,
> > warum nun [mm](B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A) \subseteq M[/mm] gilt
> > und bist, weil [mm]x \in M[/mm] beliebig war, fertig.
>
>
> Puh! Ich freu mich immer tierisch über deine wirklich gut
> verständlichen Antworten und deine Mühe, 1000 Dank
> dafür! Jetzt muss ich es nur noch richtig aufschreiben,
> aber das sollte jetzt kein Problem mehr sein!
Kein Ding, gern geschehen - ich denke, dass Dir das Aufschreiben auch gelingen wird!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
>
> > > A) Wie ist der Zusammenhang zwischen
> > > [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x)[/mm] und [mm](B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A)\,[/mm]?
>
> >
> >
> >
> > Die sind doch identisch oder? Also
> > [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x)[/mm])=[mm] B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A\,[/mm]
>
> genau!
>
> > Das ist das was ich eigentlich zeigen wollte, ich wusste
> > nur nicht genau wie und habe das etwas unverständlich
> > (oder auch falsch) dargestellt.
>
> Du hattest am Anfang direkt das, worauf Du hinaus wolltest,
> hingeschrieben, als wenn sofort klar wäre, dass das so
> ist.
>
> > > Warum gilt [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x) \in T_2[/mm]?
> >
> > Weil [mm]B^{d_A}_{\epsilon(x)}(x)[/mm] ja eine bezüglich [mm]d_A[/mm] offene
> > Menge ist und das sind ja gerade die Elemente von [mm]T_2.[/mm]
>
> Ja. Genauer: In JEDEM metrischen Raum [mm](X,d)\,[/mm] ist ja
> [mm]B_\epsilon(x):=\{y \in X:\;d(y,x) < \epsilon\}[/mm] offen:
> Das ist zwar nicht schwer einzusehen, aber man sollte es
> beweisen können. Kennst Du den/einen Beweis dafür?
Wenn du den hier meinst: Das man für ein beliebiges [mm] a\in B_\epsilon(x) [/mm] wieder eine offene Kugel [mm] B_\delta(a)=\{y\in X| d(y,a)<\delta\} [/mm] mit [mm] \delta=:[/mm] [mm] \epsilon -d(a,x) [/mm] erhält, s.d. [mm] B_\delta \subset B_\epsilon [/mm] dann lautet die Antwort ja! Es sei denn du meinst einen anderen Beweis 
> > > Und nun geht's so weiter, wie Du das, denke ich, auch
> > > machen wolltest:
> > > Mithilfe der obigen Überlegungen können wir
> > schreiben
> > > [mm]M=\bigcup_{x \in M}(B^{d}_{\epsilon(x)}(x) \cap A)\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wenn Du nun die Frage A) beantwortet hast, setzt Du das
> > > einfach entsprechend ein und bist fertig. (Beachte:
> > > Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen.)
> > >
> > > P.S.
> > > Eigentlich haben wir oben sogar zuviel gemacht, ich
> > kann
> > > Dir auch den Beweis kürzer machen:
> > > Um [mm]T_1 \subseteq T_2[/mm] einzusehen, haben wir ja nur
> > > folgendes zu zeigen:
> > > Ist [mm]M \in T_1[/mm] und [mm]x \in M[/mm] beliebig, so haben wir zu
> > > zeigen, dass es dann ein [mm]\epsilon(x) > 0\,[/mm] so gibt, dass
> > > [mm]B_{\epsilon(x)}^{d_A}(x):=\{a \in A:\;d_A(a,x) < \epsilon(x)\}=\{a \in A:\;d(a,x) < \epsilon(x)\} \subseteq M[/mm]
> > > gilt - und wegen [mm]M \in T_1[/mm] ist ja [mm]M \subseteq A[/mm] klar.
> > > Ferner ist [mm]T_{d_A}[/mm] ja eben so definiert, dass genau diese
> > > Eigenschaft die Mengen in [mm]T_{d_A}[/mm] charakterisiert.
> > >
> > > Nun siehst Du, dass wir eigentlich nur oben ein zu dem [mm]x \in T[/mm]
> > > passendes [mm]\epsilon(x) > 0[/mm] wählen brauchen, so dass
> > > [mm]B^d_{\epsilon(x)}(x)=\{y \in X:\;d(y,x)< \epsilon(x)\} \subseteq T[/mm]
> > > gilt. Denn wenn du Frage A) beantwortet hast, dann bildest
> > > Du noch [mm]B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A\,,[/mm] begründest kurz,
> > > warum nun [mm](B^d_{\epsilon(x)}(x) \cap A) \subseteq M[/mm] gilt
> > > und bist, weil [mm]x \in M[/mm] beliebig war, fertig.
> >
> >
> > Puh! Ich freu mich immer tierisch über deine wirklich gut
> > verständlichen Antworten und deine Mühe, 1000 Dank
> > dafür! Jetzt muss ich es nur noch richtig aufschreiben,
> > aber das sollte jetzt kein Problem mehr sein!
>
> Kein Ding, gern geschehen - ich denke, dass Dir das
> Aufschreiben auch gelingen wird!
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Ja. Genauer: In JEDEM metrischen Raum [mm](X,d)\,[/mm] ist ja
> > [mm]B_\epsilon(x):=\{y \in X:\;d(y,x) < \epsilon\}[/mm] offen:
> > Das ist zwar nicht schwer einzusehen, aber man sollte
> es
> > beweisen können. Kennst Du den/einen Beweis dafür?
>
> Wenn du den hier meinst: Das man für ein beliebiges [mm]a\in B_\epsilon(x)[/mm]
> wieder eine offene Kugel [mm]B_\delta(a)=\{y\in X| d(y,a)<\delta\}[/mm]
> mit [mm]\delta=:[/mm] [mm]\epsilon -d(a,x)[/mm] erhält, s.d. [mm]B_\delta \subset B_\epsilon[/mm]
> dann lautet die Antwort ja! Es sei denn du meinst einen
> anderen Beweis
den meinte ich - man kann ihn aber leicht abändern: Man kann dort ja rgendein $0 < [mm] \delta \le \epsilon-d(a,x)$ [/mm] wählen.
Gruß,
Marcel
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