Injektiv, Surjektiv, Bijektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen. Ich habe mal ein ganz kurze und knappe Frage. Zum einen wollte ich wissen, ob folgende Begriffe richtig erklärt sind.
injektiv bedeutet, dass jedes Element des Bildes nur einmal getroffen wird. Als Beispiel würde ich jetzt die Funktion f(x)=x nehmen. Hier wird jedes Element höchstens einmal getroffen.
surjektiv bedeutet, dass jedes Element des bildes getroffen wird. als beispiel würde ich [mm] x^2 [/mm] nehmen da es hier mehrere x Werte gibt die getroffen werden. Also z.B. [mm] \pm2 [/mm] ist =4
Jetzt meine Frage zur bijektivität. Es heißt ja im Prinzip, dass eine Funktion bijektiv ist, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Da sich aber beide irgendwie bei meiner definition wiedersprechen, würde die bijektivität meiner Meinung nach garnicht aufgehen. und dann wollte ich noch fragen, ob nur bijektive Funktionen Umkehrbar sind.
Danke schonmal im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 So 21.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo zusammen. Ich habe mal ein ganz kurze und knappe
> Frage. Zum einen wollte ich wissen, ob folgende Begriffe
> richtig erklärt sind.
> injektiv bedeutet, dass jedes Element des Bildes nur
> einmal getroffen wird. Als Beispiel würde ich jetzt die
> Funktion f(x)=x nehmen. Hier wird jedes Element höchstens
> einmal getroffen.
Nein, für alle y [mm] \in [/mm] Y gibt es höchstens ein x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y, wenn f eine Funktion von X nach Y ist, also mit der Def.-Menge X und der Wertemenge Y
> surjektiv bedeutet, dass jedes Element des bildes
> getroffen wird.
Die Definition ist korrekt, aber das Beispiel falsch.
als beispiel würde ich [mm]x^2[/mm] nehmen da es
> hier mehrere x Werte gibt die getroffen werden. Also z.B.
> [mm]\pm2[/mm] ist =4
Was ist z.B. mit y=-2?
> Jetzt meine Frage zur bijektivität. Es heißt ja im
> Prinzip, dass eine Funktion bijektiv ist, wenn sie injektiv
> und surjektiv ist.
Richtig.
Beispiel:
[mm] f:\IR\to\IR^{+}
[/mm]
[mm] x\mapsto x^{2} [/mm] ist surjektiv, aber nicht injektiv
(y=4 wird von x=2 und x=-2 "getroffen")
[mm] f:\IR^{+}\to\IR
[/mm]
[mm] x\mapsto x^{2} [/mm] ist injektiv, aber nicht surjektiv
(y=-2 wird nicht getroffen, hat also kein Urbild aus X)
[mm] f:\IR^{+}\to\IR^{+}
[/mm]
[mm] x\mapsto x^{2} [/mm] ist surjektiv, und injektiv, also bijektiv
Da sich aber beide irgendwie bei meiner
> definition wiedersprechen, würde die bijektivität meiner
> Meinung nach garnicht aufgehen. und dann wollte ich noch
> fragen, ob nur bijektive Funktionen Umkehrbar sind.
>
Bijektive Funktionen sind umkehrbar, das ist auch korrekt.
> Danke schonmal im Vorraus
Marius
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 09:31 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> > Hallo zusammen. Ich habe mal ein ganz kurze und knappe
> > Frage. Zum einen wollte ich wissen, ob folgende Begriffe
> > richtig erklärt sind.
> > injektiv bedeutet, dass jedes Element des Bildes nur
> > einmal getroffen wird. Als Beispiel würde ich jetzt die
> > Funktion f(x)=x nehmen. Hier wird jedes Element höchstens
> > einmal getroffen.
>
> Nein, für alle y [mm]\in[/mm] Y gibt es höchstens ein x [mm]\in[/mm] X mit
> f(x)=y, wenn f eine Funktion von X nach Y ist, also mit der
> Def.-Menge X und der Wertemenge Y
So, wie es DominicVandrey geschrieben hat, war es mMn richtig, denn folgende Aussagen sind äquivalent:
1) $f: [mm] X\to [/mm] Y$ ist injektiv
2) Jedes Element des Bildes von f wird genau einmal getroffen
3) Jedes Element der Zielmenge Y wird höchstens einmal getroffen.
Das Bild einer Funktion ist eben nicht die Zielmenge Y, sondern alle Elemente aus Y, die ein Urbild unter f haben:
[mm] $\operatorname{Bild}(f)=f(X)=\{y\in Y\ |\ \exists x\in X\ :\ f(x)=y\}$
[/mm]
> > surjektiv bedeutet, dass jedes Element des bildes
> > getroffen wird.
>
> Die Definition ist korrekt, aber das Beispiel falsch.
Hier ist die DominicVandreys Definiton falsch.
Jedes Element des Bildes wird per Definition des Bildes getroffen. Es müsste also lauten bzw. es ist äquivalent:
1) $f: [mm] X\to [/mm] Y$ ist surjektiv
2) [mm] $\operatorname{Bild}(f)=Y$
[/mm]
3) Jedes Element der Zielmenge Y wird mindestens einmal getroffen.
Bei DominicVandreys Beispiel kann man nicht sagen, ob es richtig oder falsch ist, da die Angabe der Quell- und Zielmenge der Funktion fehlen. Das sieht man ja auch sehr schön an M.Rex' Beispielen unten, dass die Angabe von X und Y entscheidend darüber ist, ob f injektiv/surjektiv/bijektiv ist.
Viele Grüße,
Marc
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