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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Sa 21.11.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:[0,b]\to \IR [/mm] Borel-meßbar und Lebesgue-integrierbar. Zeigen Sie, dass [mm] g(x)=\integral_{x}^{b}{t^{-1}f(t) dt} [/mm] auf (0,b] stetig und auf [0,b] Lebesgue-integrierbar ist, sowie [mm] \integral_{0}^{b}{g(x) dx} =\integral_{0}^{b}{f(t) dt}. [/mm] |
Hallo!!!
Stetigkeit und Integrierbarkeit habe ich so gezeig:
Da [mm] f:[0,b]\to \IR [/mm] Borel-meßbar ist [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig auf [0,b] [mm] \Rightarrow \bruch{f(t)}{t}ist [/mm] stetig auf (0,b], da [mm] \bruch{1}{t} [/mm] auf (0,b]stetig ist.
Weiter, da f(t) Lebesgue-integrierbar ist [mm] \Rightarrow \exists [/mm] h(t) Lebesgue-integrierbar: |f(t)| [mm] \le [/mm] h(t). Also [mm] \integral_{x}^{b}{\bruch{f(t)}{t} dt}\le \integral_{x}^{b}{\bruch{h(t)}{t} dt}\le \integral_{x}^{b}{h(t) dt}<\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g(x) ist auf [0,b] Lebesgue-integrierbar.
Jetzt muss ich die Gleichheit beweisen:
[mm] \integral_{0}^{b}{\integral_{x}^{b}{\bruch{f(t)}{t} dt} dx}=\integral_{0}^{b}{f(t) dt}, [/mm] aber ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll. Ich habe schon viele Sachen ausprobiert, aber komme nicht auf die Lösung.
Wäre nett, wenn jemand meinen Beweis korregieren und vielleicht einen Tipp geben könnte, wie ich weter machen muss.
Danke im Voraus
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:29 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]f:[0,b]\to \IR[/mm] Borel-meßbar und Lebesgue-integrierbar.
> Zeigen Sie, dass [mm]g(x)=\integral_{x}^{b}{t^{-1}f(t) dt}[/mm] auf
> (0,b] stetig und auf [0,b] Lebesgue-integrierbar ist, sowie
> [mm]\integral_{0}^{b}{g(x) dx} =\integral_{0}^{b}{f(t) dt}.[/mm]
>
> Hallo!!!
> Stetigkeit und Integrierbarkeit habe ich so gezeig:
> Da [mm]f:[0,b]\to \IR[/mm] Borel-meßbar ist [mm]\Rightarrow[/mm] f ist
> stetig auf [0,b]
Warum sollte $f$ stetig sein?!? Das ist i.A. ganz sicher nicht der Fall!
> [mm]\Rightarrow \bruch{f(t)}{t}ist[/mm] stetig auf
> (0,b], da [mm]\bruch{1}{t}[/mm] auf (0,b]stetig ist.
Die Funktion [mm] $\frac{f(t)}{t}$ [/mm] ist sicher nicht stetig.
> Weiter, da f(t) Lebesgue-integrierbar ist [mm]\Rightarrow \exists[/mm]
> h(t) Lebesgue-integrierbar: |f(t)| [mm]\le[/mm] h(t). Also
> [mm]\integral_{x}^{b}{\bruch{f(t)}{t} dt}\le \integral_{x}^{b}{\bruch{h(t)}{t} dt}\le \integral_{x}^{b}{h(t) dt}<\infty[/mm]
Die Gleichheit hinten gilt sicher i.A. nicht! Sei etwa $b = 1$, dann gilt dies i.A. nur fuer $x = 1 = b$ oder fuer $f(t) = h(t) = 0$ fuer alle $t$.
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(x) ist auf [0,b] Lebesgue-integrierbar.
> Jetzt muss ich die Gleichheit beweisen:
> [mm]\integral_{0}^{b}{\integral_{x}^{b}{\bruch{f(t)}{t} dt} dx}=\integral_{0}^{b}{f(t) dt},[/mm]
> aber ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll. Ich habe
> schon viele Sachen ausprobiert, aber komme nicht auf die
> Lösung.
Die Gleichheit bekommst du z.B. mit dem Satz von Fubini. Das Doppelintegral ist ja damit gleich [mm] $\underset{0 \le x \le t \le b}{\int\int} t^{-1} [/mm] f(t) [mm] \, [/mm] d(x, t)$.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:09 So 22.11.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, Felix!!
Danke für deine Antwort!!
[mm] \underset{0 \le x \le t \le b}{\int\int}{ t^{-1} {f(t)} d(x, t)} [/mm] mit satz von Funbini gilt:
[mm] \integral_{0}^{b}\integral_{x}^{b}{f(t)t^{-1}dt dx}=\integral_{x}^{b}\integral_{0}^{b}{f(t)t^{-1}dxdt}, [/mm] also man kann zuerst nach x integrieren und dann nach t. Aber wenn ich zuerst nach x integriere hab ich dann [mm] \integral_{x}^{b}{[f(t)t^{-1}x]_{0}^{b}dt} [/mm] und das führt mich wieder nicht zu dem grünen Zweig. Könntest du mir noch einbisschen helfen.
Vielen Vielen Dank
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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