Integral ableiten < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Di 26.06.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
ich muss folgendes lösen:
[mm] h:(0,\infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] h(x)=\integral_{0}^{x^{2}}{sin(t^{2}) dt} [/mm]
Bestimme [mm] h´(\wurzel[4]{\pi})
[/mm]
Hinweis: Sie können h als verknüpfung zweier funktionen schreiben.
Ich glaube dass man das mit dem Hauptsatz der different. und integralr. macht, jedoch kriege ich die Stammfunktion nicht hin. Ich darf nicht partiell ableiten. Subst. bringt mich nicht weiter und der hinweis hilft mir auch nicht.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich muss folgendes lösen:
> [mm]h:(0,\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit
> [mm]h(x)=\integral_{0}^{x^{2}}{sin(t^{2}) dt}[/mm]
> Bestimme [mm]h´(\wurzel[4]{\pi})[/mm]
schreibe das als [mm] $h\,'$ [/mm] - sonst erkennt man das Ableitungszeichen nicht! (Sicher ein Grund, warum viele sich Deine Aufgabe nicht näher angeguckt haben!)
> Hinweis: Sie können h als verknüpfung zweier funktionen
> schreiben.
> Ich glaube dass man das mit dem Hauptsatz der different.
> und integralr. macht, jedoch kriege ich die Stammfunktion
> nicht hin. Ich darf nicht partiell ableiten. Subst. bringt
> mich nicht weiter und der hinweis hilft mir auch nicht.
Setze [mm] $f(x):=\int_0^x \sin(t^2)dt$ [/mm] und [mm] $g(x):=x^2\,.$ [/mm] Dann ist $h=(f [mm] \circ [/mm] g)$ (berechne einfach durch Einsetzen $f(g(x))$).
Wir haben alle Voraussetzungen für folgendes:
Es gilt daher
[mm] $$h'(x)=f'(g(x))*g'(x)\,.$$
[/mm]
Und klar: Es ist [mm] $f'(u)=\sin(u^2)$ [/mm] nach dem HDI, also [mm] $f'(g(x))=\sin(g^2(x))=\sin(x^4)$ [/mm] und [mm] $g'(x)=(x^2)'$ [/mm] kannst Du sicher selbst ausrechnen. Damit kommst Du sicher zum Ziel!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Do 28.06.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, danke für die super Antwort.
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> schreibe das als [mm]h\,'[/mm] - sonst erkennt man das
> Ableitungszeichen nicht! (Sicher ein Grund, warum viele
> sich Deine Aufgabe nicht näher angeguckt haben!)
Habe ich gar nicht bemerkt.
> Setze [mm]f(x):=\int_0^x \sin(t^2)dt[/mm] und [mm]g(x):=x^2\,.[/mm]
Warum geht die obere Grenze nur bis x und nicht bis [mm] x^2?
[/mm]
> Wir haben alle Voraussetzungen für folgendes:
> Es gilt daher
> [mm]h'(x)=f'(g(x))*g'(x)\,.[/mm]
>
> Und klar: Es ist [mm]f'(u)=\sin(u^2)[/mm] nach dem HDI, also
> [mm]f'(g(x))=\sin(g^2(x))=\sin(x^4)[/mm] und [mm]g'(x)=(x^2)'[/mm] kannst Du
> sicher selbst ausrechnen. Damit kommst Du sicher zum Ziel!
Also ist [mm] h'(x)=sin(x^{4})*2x [/mm] ?
Gruß
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Hallo Ganz,
> Hallo, danke für die super Antwort.
>
> >
> > schreibe das als [mm]h\,'[/mm] - sonst erkennt man das
> > Ableitungszeichen nicht! (Sicher ein Grund, warum viele
> > sich Deine Aufgabe nicht näher angeguckt haben!)
> Habe ich gar nicht bemerkt.
>
> > Setze [mm]f(x):=\int_0^x \sin(t^2)dt[/mm] und [mm]g(x):=x^2\,.[/mm]
> Warum geht die obere Grenze nur bis x und nicht bis [mm]x^2?[/mm]
> > Wir haben alle Voraussetzungen für folgendes:
> > Es gilt daher
> > [mm]h'(x)=f'(g(x))*g'(x)\,.[/mm]
> >
> > Und klar: Es ist [mm]f'(u)=\sin(u^2)[/mm] nach dem HDI, also
> > [mm]f'(g(x))=\sin(g^2(x))=\sin(x^4)[/mm] und [mm]g'(x)=(x^2)'[/mm] kannst Du
> > sicher selbst ausrechnen. Damit kommst Du sicher zum Ziel!
> Also ist [mm]h'(x)=sin(x^{4})*2x[/mm] ?
>
Ja.
> Gruß
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 28.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, danke für die super Antwort.
>
> >
> > schreibe das als [mm]h\,'[/mm] - sonst erkennt man das
> > Ableitungszeichen nicht! (Sicher ein Grund, warum viele
> > sich Deine Aufgabe nicht näher angeguckt haben!)
> Habe ich gar nicht bemerkt.
>
> > Setze [mm]f(x):=\int_0^x \sin(t^2)dt[/mm] und [mm]g(x):=x^2\,.[/mm]
> Warum geht die obere Grenze nur bis x und nicht bis [mm]x^2?[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
weil ich es so definiert habe: Das war doch gerade der Sinn. Wir wollen den HDI anwenden, dann müssen wir etwas reinschmuggeln, dass man ihn darauf anwenden kann. Und was $\left.\frac{d}{dx}\int_0^xf(t)dt\right|_{x_0}$ ist, wissen wir nach dem HDI halt (sofern die Voraussetzung zu seiner Anwendbarkeit gegeben sind - aber die sind hier gegeben!): $f(x_0)\,.$
> > Wir haben alle Voraussetzungen für folgendes:
> > Es gilt daher
> > [mm]h'(x)=f'(g(x))*g'(x)\,.[/mm]
> >
> > Und klar: Es ist [mm]f'(u)=\sin(u^2)[/mm] nach dem HDI, also
> > [mm]f'(g(x))=\sin(g^2(x))=\sin(x^4)[/mm] und [mm]g'(x)=(x^2)'[/mm] kannst Du
> > sicher selbst ausrechnen. Damit kommst Du sicher zum Ziel!
> Also ist [mm]h'(x)=sin(x^{4})*2x[/mm] ?
Ja. Und nun ist halt laut Aufgabenstellung [mm] $h\,'(\sqrt[4]{\pi})$ [/mm] gesucht: Setze also noch [mm] $x=\sqrt[4]{\pi}$ [/mm] in [mm] $\sin(x^4)*2x$ [/mm] ein!
Gruß,
Marcel
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