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| Aufgabe | [mm] |\integral_{B(0,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_x [/mm] f(x-y) [mm] dy|\le [/mm] C [mm] ||D^2 f||_{L^\infty(R^n)} \integral_{B(0,\epsilon)} |\Phi(y)|dy \le \begin{cases} C\epsilon^2|log \epsilon |, & \mbox{für } n=2 \\ C \epsilon^2, & \mbox{für } n\ge 3 \end{cases}
[/mm]
Wobei B eine Kugel mit Radius [mm] \epsilon [/mm] um 0 ist und [mm] \Phi :=\begin{cases} \frac{-log|x|}{2\pi}, & \mbox{für } n=2 \\ \frac{1}{n(n-2)\alpha(n) |x|^{n-2}}, & \mbox{für } n\ge 3 \end{cases}. \alpha(n) [/mm] ist das Volumen der Einheitskugel im [mm] R^n [/mm] |
Hallo,
es geht hier um die Poisson Gleichung und darum zu zeigen, dass die Lösung der Laplace Gleichung gefaltet mit f (die linke Seite der Poisson-Gleichung darstellt), eine Lösung der Poisson Gleichung ist. Dafür brauche ich diese Abschätzung deren letze Komponente mir total rätselhaft ist! Was wird dabei verwendet? Da [mm] \Phi [/mm] unbeschränkt ist, kann man wohl nicht einfach die Fundamentalungleichung für Integrale verwenden. Auf der anderen Seite scheint mir das Ausrechnen des Integrals zu aufwändig! Oder wird hier in Kugelkoordinaten transformiert und ausgerechnet? Das wäre auch recht plausibel....
Kann mir da jemand helfen bzw. mich auf irgendwelche Sätze- Internetseiten verweisen?
Vielen Dank und Frohe Weihnachten!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Di 21.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> [mm]|\integral_{B(0,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_x[/mm] f(x-y) [mm]dy|\le[/mm] C
> [mm]||D^2 f||_{L^\infty(R^n)} \integral_{B(0,\epsilon)} |\Phi(y)|dy \le \begin{cases} C\epsilon^2|log \epsilon |, & \mbox{für } n=2 \\ C \epsilon^2, & \mbox{für } n\ge 3 \end{cases}[/mm]
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> Wobei B eine Kugel mit Radius [mm]\epsilon[/mm] um 0 ist und [mm]\Phi :=\begin{cases} \frac{-log|x|}{2\pi}, & \mbox{für } n=2 \\ \frac{1}{n(n-2)\alpha(n) |x|^{n-2}}, & \mbox{für } n\ge 3 \end{cases}. \alpha(n)[/mm]
> ist das Volumen der Einheitskugel im [mm]R^n[/mm]
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> Hallo,
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> es geht hier um die Poisson Gleichung und darum zu zeigen,
> dass die Lösung der Laplace Gleichung gefaltet mit f (die
> linke Seite der Poisson-Gleichung darstellt), eine Lösung
> der Poisson Gleichung ist. Dafür brauche ich diese
> Abschätzung deren letze Komponente mir total rätselhaft
> ist! Was wird dabei verwendet? Da [mm]\Phi[/mm] unbeschränkt ist,
> kann man wohl nicht einfach die Fundamentalungleichung für
> Integrale verwenden.
Da die Funktion [mm] $\Phi(y)$ [/mm] nur von $|y|$ abhängt, besteht der Trick darin, in Polarkoordinaten zu transferieren. Das hat zwei Vorteile: 1. Die Funktionaldeterminante liefert einen Faktor [mm] $r^{n-1}=|y|^{n-1}$. [/mm] 2. Das Volumenintegral zerfällt in zwei Faktoren: das Integral über die Winkel, in dem [mm] $\Phi$ [/mm] nicht vorkommt, und das Integral über den Radius.
[mm] \integral_{B(0,\epsilon)} |\Phi(y)|dy = \integral d\Omega \integral_0^\epsilon r^{n-1} \Phi(y) dr [/mm]
Das Integral über die WInkel ergibt gerade das Volumen der Einheitskugel, sodass
[mm] \integral_{B(0,\epsilon)} |\Phi(y)|dy = \alpha(n) \integral_0^\epsilon r^{n-1} \Phi(y) dr [/mm]
Jetzt ist der Integrand beschränkt.
Viele Grüße
Rainer
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