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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Sanny |
Hallo,
habe hier die Aufgabe:
Berechnen Sie die Integrale mit Hilfe der Tabelle mit bekannten Stammfunktionen.
[mm] \integral_{\pi}^{0}{(sin x + cos x) dx}
[/mm]
Habe folgendes gerechnet:
= [ - cos x + sin x] (oben [mm] \pi, [/mm] unten 0)
= - cos [mm] \pi [/mm] + sin [mm] \pi [/mm] - ( - cos 0 + sin 0)
= - cos [mm] \pi [/mm] + sin [mm] \pi [/mm] + cos 0 - sin 0
= - 0,998 + 0,054 + 1 - 0
= 0,056
Das ist mein Ergebnis. Laut Lösung soll aber 2 rauskommen.
Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler ist?!
Schonmal vielen Dank und liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mo 31.05.2010 | | Autor: | tedd |
Hi
Du musst beim integrieren beachten wo bei den zu Integrierenden Funktionen Nullstellen auftreten da negative Flächen (also Flächen die unterhalb der x-Achse liegen) negativ gezählt werden.
An den Nullstellen unterbricht man also die Inegration und setzt diese in Betragsstriche (oder alternativ direkt ein Minus davor) damit die Fläche wieder positiv gezählt wird.
[mm] \sin(x) [/mm] befindet sich im Intervall von 0 bis [mm] \pi [/mm] nur überhalb der x-Achse, es treten keine negativen Flächen auf, also ist hier alles im Lot.
[mm] \cos(x) [/mm] hat allerdings eine Nullstelle bei [mm] x=\bruch{\pi}{2}, [/mm] also muss hier die Inegration unterbrochen werden.
Ausserdem kann man um Verwirrung zu umgehen das Vorzeichen des Integrals und dafür die Inegrationsgrenzen umdrehen:
da [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=-\integral_{b}^{a}{f(x) dx} [/mm]
$ [mm] \integral_{\pi}^{0}{\sin(x) + \cos(x) dx} [/mm] $
= -$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\sin(x) + \cos(x) dx} [/mm] $
= [mm] -\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin(x) dx} + \integral_{0}^{\pi}{\cos(x) dx}\right)
[/mm]
= [mm] -\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin(x) dx} + \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos(x) dx} + \left|\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{\cos(x) dx}\right|\right)
[/mm]
Mir ist bei deiner Berechnung noch was aufgefallen:
[mm] \sin(\pi) [/mm] und [mm] \cos(\pi) [/mm] ergibt sicher nicht so krumme Ergebnisse.
Hast du mit dem Taschenrechner gerechnet und nicht auf Bogenmaß gewechselt?
Den Rest schaffst du sicher selber 
Gruß,
tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Sanny |
Vielen Dank. Ja, ich habe den Taschenrechner tatsächlich nicht umgestellt!!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Mo 31.05.2010 | | Autor: | schotti |
@ tedd: du solltest dir nochmals genau den unterschied zwischen der berechnung eines integrals und eines flächeninhaltes überlegen...
@ sanny: das integral hat den wert -2, nicht 2.
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