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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Isomorphe Gruppen
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Isomorphe Gruppen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Mo 15.11.2004
Autor: Floyd

hallo!

Kann mir jemand mit ein paar Isomorphismen aushelfen?

Hier ist mein Problem:

Welche Gruppen sind zueinander isomorph?
[mm] (\IR \backslash [/mm] {0},*)
[mm] (\IR,+) [/mm]
[mm] (\{z\in \IC | |z|=1\},*) [/mm]
[mm] (\{r\in \IR | r>0\},*) [/mm]
[mm] (\IR,+)/(\IZ,+) [/mm]

Also muss ich ja nur lineare Abb. suchen, welche bij sind, oder?
Wenn eine solche Abb. existiert dann sind die jeweiligen Gruppen isomorph
Wie kann ich jedoch zeige, dass zwei Gruppen nicht zueinander isomorp sind?

mfg Floyd

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Isomorphe Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Mo 15.11.2004
Autor: Julius

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Floyd!

Geeignete Isomorphismen werden durch

$\begin{array}{ccc} (\IR,+) & \to & (\{r \in \IR\, : \, r > 0\},\cdot) \\[5pt] x & \mapsto & e^x \end{array}$
und

$\begin{array}{ccc} (\IR,+)/(\IZ,+) & \to & (\{z \in \IC\, :\, \vert z \vert = 1\},\cdot) \\[5pt] x & \mapsto & e^{2 \pi i x} \end{array}$

gegeben. Weise das bitte im einzelnen nach! :-)

Daher gilt auf jeden Fall:

$(\IR,+) \cong (\{r \in \IR\, : \, r>0\},\cdot)$

und

$(\IR,+)/(\IZ,+)  \cong (\{z \in \IC\, :\, \vert z \vert = 1,\cdot)$.

Die beiden Isomophieklassen sind aber disjunkt, da es in

$\{z \in \IC\, : \, \vert z \vert = 1\}, \cdot)$

ein Element $z_0$ gibt mit $z_0^2=1$ (also ein idempotentes Element, nämlich $z_0=-1$), dagegen aber etwa in $(\IR,+)$ nicht.

Aus dem gleichen Grund folgt, dass $(\IR \setminus \{0\}, \cdot)$ nicht in die erste Isomorphieklasse gehören kann.

Gehört sie in die zweite? Hmmh, also: $i \in \{z \in \IC\, : \, \vert z \vert = 1\}, \cdot)$ hat die Ordnung $4$. Gibt es in $(\IR \setminus \{0\},\cdot)$ ein Element der Ordnung $4$? ;-)

Liebe Grüße
Julius


Bezug
                
Bezug
Isomorphe Gruppen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Mo 15.11.2004
Autor: Floyd

hallo!

Erstmals danke für die schnelle Antwort!

Aber eine Frage hätte ich noch:
Warum kann man im letzten Absatz mit der Ordnung argumentieren??

mfg
Floyd


Bezug
                        
Bezug
Isomorphe Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Mo 15.11.2004
Autor: Julius

Hallo!

Wäre

[mm] $\varphi [/mm] : [mm] (\{z \in \IC\, : \, \vert z \vert =1\},\cdot) \to (\IR \setminus \{0\}, \cdot)$ [/mm]

ein Gruppenisomorphismus, so würde gelten:

[mm] $\varphi(i)^4 [/mm] = [mm] \varphi(i^4) [/mm] = [mm] \varphi(1) [/mm] = 1$

und

[mm] $\varphi(i)^k [/mm] = [mm] \varphi(i^k) \ne [/mm] 1$

für $k=1,2,3$, denn sonst wäre [mm] $\varphi$ [/mm] wegen [mm] $i^k\ne [/mm] 1$ für $i=1,2,3$ nicht injektiv.

Liebe Grüße
Julius

Bezug
        
Bezug
Isomorphe Gruppen: HILFE
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 09:27 Di 16.11.2004
Autor: Floyd

hallo!

Bitte könnte mir schnell jemand helfen!
Wie zeigt man , dass die folgenden Klassen nicht isomorph sind???

[mm] ({z\in \IC | |z|=1},*) [/mm]
[mm] (\IR,+) [/mm]
[mm] (\IR [/mm] \ {0},*)

vielen Dank im Vorraus
mfg Floyd

Ich habe diese Frage noch in keinem anderem Forum gestellt.

Bezug
        
Bezug
Isomorphe Gruppen: HILFE
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Di 16.11.2004
Autor: Floyd

hallo!

Bitte könnte mir schnell jemand helfen!
Wie zeigt man , dass die folgenden Klassen nicht isomorph sind???

[mm] ({z\in \IC | |z|=1},*) [/mm]
[mm] (\IR,+) [/mm]
[mm] (\IR [/mm] \ {0},*)

vielen Dank im Vorraus
mfg Floyd

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


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Bezug
Isomorphe Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:39 Di 16.11.2004
Autor: matux

Hallo Floyd,

bitte poste Folgefragen in die ursprüngliche Diskussion.

Viele Grüße,
matux

Bezug
                
Bezug
Isomorphe Gruppen: Schon gezeigt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:55 Di 16.11.2004
Autor: Julius

Hallo!

Das habe ich doch bereits gezeigt.

Wenn du Fragen zu dem Beweis hast, dann stelle sie bitte konkret.

Viele Grüße
Julius

Bezug
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